Es un paquete tautológico $\mathcal{O}(1)$ o $\mathcal{O}(-1)$ ?

Question

Siempre me confunde si el paquete tautológico es $\mathcal{O}(1)$ o $\mathcal{O}(-1)$ y definiciones de diferentes fuentes enredadas en mi cerebro. Sin embargo, pensé que esto podría no ser simplemente una cuestión de convención.

Dejemos que $\mathbb{P}^n$ sea un espacio proyectivo de dimensión $n$ si nos damos cuenta de un punto $[l]$ en $\mathbb{P}^n$ como una línea $l \subset \mathbb{C}^{n+1}$ pasando por el origen. Entonces el haz tautológico $S$ de $\mathbb{P}^n$ se define como un subfondo de $\mathbb{P}^n\times \mathbb{C}^{n+1}$ por

$$[l] \times l \subset [l] \times \mathbb{C}^{n+1}$$

En muchos libros, la convención es $S \cong \mathcal{O}(-1)$ en $\mathbb{P}^n$ . Aquí $\mathcal{O}(-1)$ se define como en Hartshorne que es la gavilla de módulos asociada a $\mathbb{C}[x_0,\dots,x_n](-1)$ (por ejemplo $x_i^{-1}$ es el grado $0$ elemento en $\mathbb{C}[x_0,\dots,x_n](-1)$ ). Sé que hay que aclarar algo en $S \cong \mathcal{O}(-1)$ : para $S$ me refiero a la gavilla asociada al haz de líneas tautológico S. Así que parece que el problema se convierte en demostrar $S$ no tiene secciones globales (porque $\mathcal{O}(-1)$ es diferente de $\mathcal{O}(1)$ por no tiene secciones globales)?

Answer 1

Como complemento a la buena respuesta de Matt, permítanme explicar por qué $\mathcal O(-1)$ sólo tiene cero como sección global.

Una sección $s\in \Gamma(\mathbb P^n,\mathcal O(-1))$ es en particular una sección del haz trivial $\mathbb P^n \times \mathbb C^{n+1}$ para que sea de la forma $s(x)=(x,\sigma (x)) $ con $\sigma:\mathbb P^n \to \mathbb C^{n+1}$ un mapa regular.
Pero ese mapa $\sigma$ es una constante, ya que cualquier mapa regular $\mathbb P^n \to \mathbb C$ es constante por la exhaustividad de $\mathbb P^n$ .
Así que $\sigma (x)=v\in \mathbb C^{n+1}$ , un vector fijo independiente de $x$ .
Sin embargo, para $x=[l]$ Debemos tener $\sigma (x)=v\in l$ .
En otras palabras, ese vector constante $v\in \mathbb C^{n+1}$ debe estar en todas las líneas $l\subset \mathbb C^{n+1}$ que obliga a $v=0$ .
Así, hemos demostrado que $$\Gamma(\mathbb P^n,\mathcal O(-1))=0$$

Answer 2

El haz de líneas $\mathcal O(1)$ tiene como secciones globales las funciones $x_0,\ldots,x_n$ que dan coordenadas en $\mathbb C^{n+1}$ ; estos no son vectores en $\mathbb C^{n+1}$ sino en su doble.

El haz tautológico es como lo has descrito, y los elementos de sus fibras son vectores en $\mathbb C^{n+1}$ . Por lo tanto, su gavilla de secciones es dual a $\mathcal O(1)$ y por lo tanto es igual a $\mathcal O(-1)$ .