Vectores de separación para $C^*$ -algebras

Question

Sea $A$ sea un C $^*$ -actuando concretamente sobre un espacio de Hilbert $H$ . Supongamos que $\xi_0\in H$ es cíclico y separador para $A$ (es decir, el mapa $A\rightarrow H, a\mapsto a(\xi_0)$ es inyectiva con rango denso). Sea $M=A''$ el álgebra de von Neumann generada por $A$ .

Necesita $\xi_0$ seguir separándose para $M$ ? Así es, $x\in M, x(\xi_0)=0 \implies x=0$ ?

De hecho, creo que puedo demostrarlo. Giramos $\mathfrak A = \{ a(\xi_0) : a\in A \}$ en un álgebra de Hilbert izquierda de la forma obvia. A continuación, ejecute la maquinaria Tomita-Takesaki (en realidad no es necesario en toda la generalidad, ya que empezamos con un estado, no un peso). Entonces el álgebra de von Neumann generada por $\mathfrak A$ no es más que $M$ por lo que la teoría general nos dice que $\varphi(x) = \|x\xi_0\|$ será un peso fiel sobre $M$ que es lo que necesitamos.

¿Es correcto? ¿Seguro que este argumento es mucho, mucho más complicado de lo necesario?

No, no creo que esto sea correcto: no parece haber ninguna razón por la que el operador Tomita $S:a(\xi_0)\mapsto a^*(\xi_0)$ está cerrado.

Answer 1

Se dio un contraejemplo sobre mathoverflow por Narutaka Ozawa:

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Tomemos un subconjunto denso cerrado en ninguna parte $C\subset [0,1]$ con medida positiva y considerar el estado $\phi$ en $C([0,1],M_2)$ definido por $$\phi(f)=\int_C f(x)_{11}dx+\int_{[0,1]\setminus C} \operatorname{tr}f(x)\,dx$$ Aquí $f(x)_{11}$ es el $(1,1)$ -entrada de $f(x)\in M_2$ . Entonces $\phi$ es un estado fiel, y el vector GNS es un vector separador cíclico. Sin embargo no es separador para el doble conmutante, que es $L^\infty ([0,1],M_2)$ .