¿Existen dos variedades lisas no diferenciadas con los mismos grupos de homología?

Question

Sé que definitivamente hay dos espacios topológicos con los mismos grupos de homología, pero que no son homeomorfos. Por ejemplo, uno podría tomar T^2 y S^{1} \vee S^{1} \vee S^{2} (o quizás S^{1} \wedge S^{1} \wedge S^{2}), que tienen los mismos grupos de homología pero diferentes grupos fundamentales. Pero, ¿hay algún ejemplo en la categoría lisa?

Answer 1

Serre ha demostrado con la ayuda de dos incrustaciones phi y psi de una ecuación cuadrática campo de número en C que existen dos proyectivas de las superficies de V(phi)y V(psi) sobre C, que no es isomorfo fundamentales de los grupos (y por lo tanto no son homeomórficos) pero tienen isomorfo números de Betti.

El teorema de comparación entre étale cohomology y singular cohomology ( que no existían cuando Serre escribió su artículo ) incluso resulta thar estas superficies tienen el mismo singular cohomology con valor en cualquier finito abelian grupo o a través de Q_l(l-adics) para cualquier l prime.

No sé si estas superficies tienen la misma homología y por tanto no puedo responder a su pregunta en el sentido estricto (de todos modos, ahora tienes Andy y Eric la mayoría de satisfacción de soluciones); pero estas observaciones en una geometría algebraica contexto podrían ser de interés para usted. Serre del artículo es

Exemples de variétés projectives conjuguées no homéomorphes, C. R. Acad.Sci.París 258 (1964), 4194-4196
Por supuesto que es reproducido en sus collected Papers.

Answer 2

Claro -- hay una abundancia de esferas de homología en dimensión 3 (la wikipedia artículo es bastante bonito).

Para otros ejemplos, en dimensión 4 se pueden encontrar variedades cerradas lisas simplemente conectadas cuyos segundos grupos de homología (los únicos interesantes) son los mismos pero que tienen diferentes pares de intersección.

Este último tema es muy rico. Para la lectura de baño en él, no puedo recomendar lo suficiente el libro de Scorpan "The Wild World of 4-Manifolds".

Answer 3

Un ejemplo más trivial es R^n y R^m para m y n diferentes. (Más generalmente dos espacios contráctiles de diferentes dimensiones).

Answer 4

Más sorprendentemente, usted puede encontrar suave colectores que son homeomórficos (y, en particular, tienen la misma homología), pero no son diffeomorphic! Los ejemplos más conocidos son exóticas esferas.