¿Qué significa curva suave?

Question

En este problema, sé que la hipótesis del teorema de Green debe asegurar que la curva simple cerrada es suave, pero ¿qué es suave? ¿Podría dar una definición y una explicación intuitiva?

Answer 1

Hay muchas formas de caracterizar la suavidad de una curva.

Normalmente, se utiliza la notación $C^{(n)}(\Omega)$ donde $n \in \mathbb{N}$ .

Así que cuando decimos $f(x) \in C^{(n)}(\Omega)$ queremos decir que $f(x)$ tiene $n$ derivadas en todo el dominio ( $\Omega$ denota el dominio de la función) y el $n^{th}$ derivado de $f(x)$ es continua, es decir $f^{n}(x)$ es continua.

También por convención, si $f(x)$ es simplemente continua, entonces decimos $f(x) \in C^{(0)}(\Omega)$ .

También, $f(x) \in C^{(\infty)}$ si la función es diferenciable cualquier número de veces. Por ejemplo, $e^{x} \in C^{(\infty)}$

Un ejemplo para ilustrarlo es considerar la siguiente función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . $$f(x) = \begin{cases}0, &\mbox{if }x \leq 0 \\ x^2, &\mbox{if }x>0\end{cases}$$

Esta función está en $C^{(1)}(\mathbb{R})$ pero no en $C^{(2)}(\mathbb{R})$ .

Cuando el dominio de la función es el mayor conjunto sobre el que la definición de la función tiene sentido, omitimos $\Omega$ y escribir que $f \in C^{(n)}$ entendiendo por dominio el mayor conjunto sobre el que tiene sentido la definición de la función.

Tenga en cuenta que $C^{(n)} \subseteq C^{(m)}$ siempre que $n>m$ .

EDITAR:

En el caso del teorema de Green, cuando aplicamos la fórmula $$\oint_c (L\,dx + M\,dy) = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy$$ necesitamos $L,M \in C^1{(\Omega)}$ , donde $\Omega$ es un dominio que contiene la curva y el interior de la curva viz $D$ .

La curva cerrada simple $C$ debe ser suave a trozos o, más generalmente, la curva $C$ debe estar en $C^{(0)}$ .

Decimos que la curva $C$ es una curva suave a trozos cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

(i) $C \in C^{(0)}$

(ii) El dominio sobre el que se define la curva puede dividirse en subconjuntos disjuntos de tal manera que la curva esté en $C^{(\infty)}$ (o suficientemente suave, es decir, la curva está en $C^{(n)}$ para algunos $n$ hasta el que nos interesa) sobre cada uno de estos subconjuntos.

Answer 2

Me he topado con esta vieja pregunta y me gustaría añadir algo: hay una diferencia de perspectiva sobre la suavidad dependiendo de si se mira el objeto geométrico o su parametrización.

Veamos el ejemplo estándar: la cúspide real. Es una curva en el plano real parametrizada $f:t\to (t^2,t^3)$ . Por supuesto, el mapeo $f$ es suave (de cualquier orden), y la gráfica de $f$ es un colector liso en $\mathbb{R}^3$ pero su imagen es singular: es el conjunto cero $x^3=y^2$ . ¡Es "peor que una esquina"!

Por lo tanto, hay que tener siempre claro lo que se quiere: ¿se necesita sólo la diferenciabilidad de la parametrización o se quiere que la imagen sea una variedad diferenciable (típicamente, en tal caso se asumiría que la derivada de $f$ no desaparece).

Answer 3

He oído utilizar el término "suave" en el contexto de la Condición de Hölder .

Answer 4

Consideremos la siguiente curva en el plano, $(x(t),y(t))$ esta curva se llama suave si las funciones $x(t)$ y $y(t)$ son suaves, lo que significa simplemente que para todo $N$ los derivados $\frac{d^Nx}{dt^N}$ y $\frac{d^Ny}{dt^N}$ existe.

Answer 5

Suave significa diferenciable (al menos una vez). En otras palabras, suave significa continuo y sin "esquinas".

Edición: cambiado "bordes" por "esquinas" después de J.M.