Cómo probar la no tan largos rayos son homeomórficos a los reales?

Question

El largo ray (la mitad de el largo de la línea) es un interesante espacio topológico. Se define como el fin de la topología en $\omega_1$$\times [0, 1)$ con lexicográfica del orden. Básicamente, es un número incontable de la mitad de abrir los intervalos se pegan juntos.

Mi pregunta es acerca de no tan largos rayos, donde se toma una contables ordinal $\alpha$, y hacer que el espacio $\alpha \times [0,1)$. Esto se dice para ser homeomórficos a $[0,1)$. ¿Cómo definir este homeomorphism? Veo cómo esto puede ser definido por $\omega$, $\omega^2$, y los demás, pero no sé cómo hacerlo en general.

Esta propiedad se utiliza para probar, por ejemplo, que de cada intervalo en la línea larga es homeomórficos a un intervalo de la recta real.

Answer 1

Bien, que en realidad es bastante fácil.

Sólo tenga en cuenta que los pedidos son isomorfos, ya que ambos son pedidos completos con densa contables subconjuntos y no un máximo. Hay un isomorfismo entre los contables subconjuntos densos, y se extiende de forma exclusiva para el resto de la orden.

Más específicamente, usted necesita para elegir un orden de incorporación de la $\alpha$ a $\Bbb R$ o $[0,1)$, y, a continuación, basta con mirar en los intervalos definidos por $[j(\gamma),j(\gamma+1))$ donde $j$ es la incrustación.

Answer 2

Una manera de incrustar los $\alpha$ $\omega_1$ a $R$ es por inducción transfinita. Supongamos $\beta$ puede estar integrado por algunas de las $f$ a $[x,y]$, siempre que $x,y$ R $x<y$, para cualquier $\beta<\alpha$.El caso de $\alpha=\phi$ (el ordinal $0$) es trivial. Para el caso de $\alpha=\gamma+1$, vamos a $f$ embed $\gamma$ a $[x,(x+y)/2]$ y deje $f(\gamma)=y$ si $\gamma$ es un ordinal sucesor o es $0$,de lo contrario vamos a $f(\gamma)$ ser el l.u.b. de la imagen de $\gamma$ . Para el caso de un no-cero límite ordinal $\alpha$, vamos a $\beta(n) : n=0,1,2,...$ser estrictamente creciente de la secuencia de los miembros de $\alpha$ con l.u.b. $\alpha$, y deje $x(n) : n=0,1,2,...$ ser estrictamente un aumento real de la secuencia con l.u.b. $y$, y con $x(0)=x$. Deje $f(0)$ embed $\beta(0)+1$ a $[x(0),x(1)]$ y deje $f(n+1)$ embed $(\beta(n+1)+1)/(\beta(n)+1)$ a $[x(n),x(n+1)]$. Esto es posible debido a $(\beta(n+1)+1)/(\beta(n)+1)$ es de orden-isomorfo a un ordinal menos de $\alpha$.Ahora vamos a $f$ ser la unión de todos los $f(n)$. Hay otra manera, pero creo que esta es lo suficientemente largo.