Los datos sobre un círculo de pruebas si los puntos están cerca de otro punto dado

Question

Tengo un conjunto de puntos que se encuentran en un círculo, y sé que sus ángulos. Hay una manera que puedo probar si ellos están más cerca de otro punto de x sobre el círculo de lo esperado por azar (suponiendo una distribución uniforme en el círculo)?

Puedo calcular la media de longitud de arco entre xy el de datos y, a continuación, calcular el mismo para cada uno de los muchos conjuntos de datos simulados generado por la distribución uniforme?

Answer 1

Si los datos de dispersión sólo en una pequeña región del círculo, usted puede tomar las herramientas de euclídea estadísticas. A continuación, el uso que de un colector --aquí el círculo de $S_1$ - es localmente euclídeo. Esta es tu y Glen_b a enfoque.

Sin embargo, se excluyen de este caso en el modelo: Su hipótesis nula que dice que los datos de dispersión alrededor de todo el círculo. Así que hay que utilizar las estadísticas de dirección. La razón matemática, ¿por qué no se puede utilizar la distancia euclídea estadísticas mediante la asignación de cada punto en el círculo a la distancia de un determinado $x\in S_1$, digamos que es el polo norte, es que no hay homeomorphism $S_k \rightarrow \mathbb{R}^k$. Es por eso que una distribución en un círculo no tiene nada significa en la clásica euclidiana sentido: ¿Cuál es la media de 270° y 90°? Es el polo sur o el polo norte?

Afortunadamente, ya hay pruebas de su hipótesis. Ver, por ejemplo, Ajne, "Una Simple Prueba de Homogeneidad de una Circular de Distribución", Biometrika, 1968, 55 (2), pág. 343.

Answer 2

La cuestión que plantea suena como que es la configuración de una prueba de hipótesis.

Distancia en el caso de la circular datos (presumiblemente) simplemente se distancia angular que es el mismo que el de su sugirió longitud de arco cuando se mide en radianes en un círculo unitario. Que es, por ejemplo basándose en la diferencia absoluta en ángulo (que creo que es su sugerencia), o tal vez algo basado en el cuadrado de la diferencia en el ángulo o alguna medida similar.

El null es que la distribución de tales distancias, debe ser que para una distribución uniforme de los puntos, mientras que la alternativa es que las distancias a $x$ será menor (ya que usted dijo que usted es la comprobación de la agrupación en torno a $x$). Si quieres saber por estar más lejos de $x$ le gustaría buscar la alternativa de ser mayor, no menor.

Sin pérdida de generalidad, puede ser que también acaba de tomar $x$ en el centro de su uniforme*; eso no va a cambiar la nula distribución.

Así que vas a estar tratando de averiguar la distribución de la media absoluta de ángulo para una distribución uniforme (o tal vez la media de los cuadrados de ángulo para una distribución uniforme).

Y sí, claro que puedes hacer eso por medio de la simulación, pero sospecho que el álgebra no es muy difícil en absoluto. (Edit: en realidad, yo sólo pensé que fuera ahora para su sugirió estadística. Es bastante sencillo - será susceptible de algo mecánico solución directa, pero es ya que es muy bien conocida. Prácticamente hablando, en cualquier cosa, pero bastante pequeñas muestras probablemente sólo tiene que utilizar una aproximación normal a menos que su nivel de significación fue muy baja.)

[En realidad, este sería un caso en el que uno podría usar el truco de Fisher método a base de una estadística fuera de la suma de la log-absoluta-ángulo de distancia. Que tiene el (modesto) ventaja de tener una tabla estándar como la distribución del estadístico de prueba.]

* si los ángulos están en $(-\pi,\pi]$, usted podría tomar $x=0$, mientras que si en $[0,2\pi)$, usted podría tomar $x=\pi$.

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Si se mide el ángulo absoluto de $x$, se obtiene un uniforme en $[0,\pi]$ (medido en radianes). Cualquier otro ángulo-origen es fácil de convertir a este. La media absoluta de los ángulos, por consiguiente, será una convolución de $n$ uniformes. Para las pequeñas $n$ esto es fácil escribir de forma explícita (por ejemplo, para $n=2$ el promedio es de forma triangular, para $n=3$ es una suave colina en forma de compuesto de tres cuadrática de los segmentos). Como $n$ aumenta rápidamente enfoques de la normalidad, excepto en el extremo de la cola.

Usted puede basar una prueba de que con bastante facilidad; la alternativa (creciendo) correspondería a una más grande que la media de ángulo absoluto. Crecimiento hacia sería menor que la media de ángulo absoluto.

Si usted está contento de uso de la simulación, no veo ningún problema con eso, pero si $n$ es mayor de 15 o así que seguramente se puede manejar bastante bien con la aproximación normal.