¿Cómo se describiría el conjunto de elementos de $\mathbb{Z}(\sqrt{-d})$ cuya norma es divisible por un primo racional $p$ ?

Question

Si consideramos los no-UFD con $d > 1$ ¿cómo se describirían los enteros en $\mathbb{Z}(\sqrt{-d})$ cuya norma es divisible por un primo $p$ ¿pero con la condición de que se haga con los ideales principales? ¿Se puede hacer? Voy a detallar lo que quiero decir;

Un ejemplo de UFD sería el siguiente;

Dejemos que $f(\alpha)=1$ para $\alpha \in \mathbb{Z}(\sqrt{-1})$ y 0 en caso contrario Quiero una nueva función, $g(\alpha)$ , de tal manera que $g(\alpha)=1$ si $p \mid N\alpha$ Si no es así $g(\alpha)=0$ . Para un primo inerte $p$ , $g(\alpha)=f(\frac{\alpha}{p})$ . Si p se divide, entonces $g(\alpha)=f(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}})+f(\frac{\alpha}{\bar{\mathfrak{p}}})-f(\frac{\alpha}{N(\mathfrak{p})})$ donde $N(\mathfrak{p})=p$ . En otras palabras, ¿cómo podemos construir $g$ utilizando sólo $f$ para campos cuadráticos imaginarios sin factorización única? Un ejemplo sería muy apreciado.

Answer 1

Las funciones $f$ y $g$ pueden definirse, pero tienen que operar sobre ideales en lugar de números, y esos ideales pueden ser principales o no.

Pero primero vamos a poner en orden la notación. $f_R(\alpha) = 1$ (o True) si $\alpha$ es un número en el anillo $R$ y $0$ (o Falso) en caso contrario. Y $g_R^p(\alpha) = 1$ si $\alpha$ es un número en el ideal primo generado por $p$ o por un factor de división de $p$ o co-generado por $p$ .

Ahora vamos a examinar $\alpha = 82$ , $p = 41$ y $R = \textbf{Z}[i]$ . Desde $41$ se divide como $(4 - 5i)(4 + 5i)$ tenemos $$g_R^p(\alpha) = f_{\textbf{Z}[i]}\left(\frac{82}{4 - 5i}\right) + f_{\textbf{Z}[i]}\left(\frac{82}{4 + 5i}\right) - f_{\textbf{Z}[i]}\left(\frac{82}{41}\right) = 1 + 1 - 1 = 1.$$ Eso es correcto, ¿verdad?

Ahora intente $\alpha = 86$ , $p = 43$ . Como $43$ es inerte, tenemos $g_R^p(\alpha) = 1$ como era de esperar.

Pasemos a $g_{\textbf{Z}[\sqrt{-5}]}^{41}(82)$ . Desde $41$ se divide como $(6 - \sqrt{-5})(6 + \sqrt{-5})$ el resultado debería ser más o menos el mismo que $g_{\textbf{Z}[i]}^{41}(82)$ .

Y ahora llegamos a algo realmente interesante: $g_{\textbf{Z}[\sqrt{-5}]}^{43}(76 + 18 \sqrt{-5})$ . $43$ es inerte en este anillo, y sin embargo $N(76 + 18 \sqrt{-5}) = 7396$ , un múltiplo de $43$ . Peor, $$\frac{76 + 18 \sqrt{-5}}{43} = \frac{2}{43}(38 + 9 \sqrt{-5}),$$ así que $$f_{\textbf{Z}[\sqrt{-5}]}\left(\frac{76 + 18 \sqrt{-5}}{43}\right) = 0.$$

Si en lugar de ello definimos $g_R^p(\alpha)$ para buscar la contención de $\langle \alpha \rangle$ en $\langle p \rangle$ o $\langle p, x \rangle$ o $\langle p, \overline x \rangle$ podríamos obtener el resultado que deseamos, ya que $\langle 76 + 18 \sqrt{-5} \rangle$ está en $\langle 43, 9 + \sqrt{-5} \rangle$ o $\langle 43, 9 - \sqrt{-5} \rangle$ Una de esas.

Answer 2

No creo que lo que pides sea posible, al menos no para algunos primos racionales. Permítanme basarme en el ejemplo que el Sr. Brooks dio en un comentario ayer.

El clásico no UFD es $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ . Consideremos el primo racional $p = 3$ . La función de norma en el campo $\mathbb Q(\sqrt{-5})$ es $N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5b^2$ . Las normas enteras posibles son 0, 1, 4, 5, 6, 9, ...

Como 3 es una norma imposible, eso significa que 3 es irreducible. Pero 6, el primer múltiplo positivo no trivial de 3, es una norma posible, y de hecho $(1 - \sqrt{-5})(1 + \sqrt{-5}) = 6$ .

Por lo tanto, si la unión de $\mathfrak P_1$ y $\mathfrak P_2$ contiene todos los números de este dominio con norma divisible por 3, es algo así como $\langle 3, 1 - \sqrt{-5} \rangle \cup \langle 3, 1 + \sqrt{-5} \rangle$ .

Pero ninguno de esos dos ideales es principal. O al menos no parecen principales. Si alguno de ellos fuera principal, seríamos capaces de resolver $x \pm x\sqrt{-5} = 3$ o $3x = 1 \pm \sqrt{-5}$ con $x \in \mathbb Z[\sqrt{-5}]$ .

¿Cuál sería la norma de este número $x$ ? Recuerda que la norma es una función multiplicativa. Para resolver la primera ecuación, tendríamos que tener $$N(x) = \frac{3}{2},$$ que no es un número entero, y para resolver esta última ecuación necesitaríamos $N(x) = 2$ una norma imposible en este ámbito.

Ahora veamos $2 + \sqrt{-5}$ . Como este número tiene una norma de 9, debe estar contenido en $\mathfrak P_1 \cup \mathfrak P_2$ . Subrayo que $(2 + \sqrt{-5}) \not\in \langle 3 \rangle$ ni $\langle 1 - \sqrt{-5} \rangle$ ni $\langle 1 + \sqrt{-5} \rangle$ .

Si $\mathfrak P_1 = \langle 3, 1 - \sqrt{-5} \rangle$ está formado por todos los números de este dominio de la forma $3\alpha + (1 - \sqrt{-5})\beta$ con $\alpha$ y $\beta$ también números en este ámbito. Y como $3 + (-1 + \sqrt{-5}) = 2 + \sqrt{-5}$ , lo que significa que $\alpha = 1$ y $\beta = -1$ es nuestra comprobación de que $(2 + \sqrt{-5}) \in \mathfrak P_1$ .

EDIT: Gracias a Dave R. por señalar un error de aritmética. Ahora lo he corregido.