Topología: Demostrar que este subespacio topología discreta

Question

La pregunta es de Topología y Sus Aplicaciones Capítulo 1, por William F. Basner. La cuestión afirma lo siguiente, Deje $\mathbb{Z}$ ser un espacio topológico con la topología de subespacio heredado de $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$. Demostrar que $\mathbb{Z}$ ha topología discreta.

Prueba. Desde $\mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$, observamos que a partir de la definición de la topología de subespacio tenemos una $O \subset \mathbb{Z}$ que solo es abrir el fib $O' \subset \mathbb{R}$ al $O = \mathbb{Z} \cap O'$. Ahora, debemos preceder a mostrar que todos los $O \subset \mathbb{Z}$ es abierto, por lo que podemos demostrar que $\mathbb{Z}$ es un espacio discreto. Por definición, 6, vemos que no debe existir una $B_{r}(x) \subset O$ y esto debe ser cierto para todos los $O \subset \mathbb{Z}$. Desde $O = \mathbb{Z} \cap O'$, $B_{r}(x) \subset \mathbb{Z} \cap O'$ debe de ser verdad. Por lo tanto, $B_{r}(x) \subset \mathbb{Z}$$B_{r}(x) \subset O'$, pero debido a que ambos $\mathbb{Z}$ $O'$ están abiertas, a continuación, $B_{r}(x)$ debe estar abierto. Como esto es cierto para todos los $B_{r}(x)$ podemos concluir que $\mathbb{Z}$ tiene una topología discreta. $\square$

Siento que esta prueba es una carga de mierda (es mi primer intento de realizar una prueba en un tiempo) quiero alimentar de nuevo, y necesito saber si lo hice correctamente.

Answer 1

Es suficiente para mostrar que cada singleton es abierto en la topología de subespacio. Dado cualquier conjunto no vacío es una unión de singleton y arbitraria de los sindicatos de abrir los conjuntos son abiertos, se ha demostrado que un conjunto es abierto en la topología de subespacio, por lo que la topología es en realidad la topología discreta.

Deje $x\in\mathbb Z$ y deje $U\equiv(x-1/2,x+1/2)$. Claramente, $U$ es un intervalo abierto y el único entero que contiene es $x$. Por lo tanto, $$\{x\}=U\cap\mathbb Z,$$ so that the singleton $\{x\}$ es abierto en la topología de subespacio.

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Mi preocupación con su prueba de ello es que mientras que usted está utilizando el derecho de definiciones, sus interpretaciones son difíciles de alcanzar en este contexto. En particular, el concepto de un balón $B_r(x)$ tiene una interpretación muy diferente en un discreto espacio métrico que en la habitual Euclidiana espacio métrico.

Por el bien de la simplicidad, por lo tanto, le sugiero evitar la métrica definición de abrir los conjuntos (a pesar del hecho de que es perfectamente válido si usted está utilizando el discreto métrica en el subespacio $\mathbb Z$) y quedarnos con la definición de un conjunto en el subespacio abierto con respecto a la topología de subespacio si es la intersección de los subespacios y un conjunto abierto en los "principales" de espacio.

Answer 2

Buen trabajo, pero podría ser un poco menos lacónico:

Deje $\left(\mathbb{R},\tau\right)$ denotar la topología usual en $\mathbb{R}$. La topología de subespacio está dado por $\left(\mathbb{Z},\pi\right)$ donde $\pi=\left\{ V\cap\mathbb{Z}\right\} _{V\in\tau}$.

Deje $W\subset\mathbb{Z}$. A continuación, $V=\bigcup_{w\in W}B_{1}\left(w\right)$ está abierto en $\left(\mathbb{R},\tau\right)$ y $W=V\cap\mathbb{Z}$, por lo que el$W$$\pi$. Desde $W$ fue arbitraria, $\pi$ es la topología discreta.

Answer 3

La prueba es un buen comienzo, como han escrito los objetos que desea construir y las propiedades que tiene la intención de que ellos tienen. Eso es un paso importante. El problema es que no has ido a demostrar la existencia de esos objetos. Dado $O$, usted tiene que encontrar un adecuado $O'$$r$. Esto no es demasiado difícil; pruebe con un valor de $r$ y ver si funciona!