La compacidad de un operador acotado $T\colon c_0 \to \ell^1$

Question

Pitt Teorema dice que cualquiera limitada operador lineal $T\colon \ell^r \to \ell^p$, $1 \leq p < r < \infty$, o $T\colon c_0 \to \ell^p$ es compacto.

Sé cómo probar esto en el caso de $\ell^r \to \ell^p$, e $c_0 \to \ell^p$ donde $p > 1$. La idea principal en el primer caso es que $\ell^r$ es reflexiva y, por tanto, cerrado balón $B_{\ell^r}$ es débilmente compacto. En el segundo caso podríamos utilizar el Teorema de Schauder ($T$ es compacto si y sólo si $T^*$ es compacto).

El único caso de la izquierda es $T\colon c_0 \to \ell^1$. He probado algo como esto:

Por el Teorema de Schauder tenemos que demostrar que el $T^*\colon \ell^\infty \to \ell^1$ es compacto. Por Banach-Alaoglu Teorema sabemos que $B_{\ell^\infty}$ es compacto en el $weak^{*}$ topología en $\ell^\infty$. Por otra parte, sabemos que, desde la $\ell^1$ es separable, que $B_{\ell^\infty}$ es metrizable. Por lo tanto, es suficiente para probar que si $(x_n)$ $weak{}^{*}$ convergente (es decir, a $x$) de la secuencia en $B_{\ell^\infty}$ $(Tx_n)$ converge (a $Tx$, creo). Desde el Teorema de Schur (débil y la norma de la convergencia es la misma en $\ell^1$) que solo tenemos que mostrar que $(Tx_n)$ converge débilmente en $\ell^1$.

Y aquí me quedé. Me podría dar alguna idea o referencias? En cada libro que he mirado hasta ahora, en este caso en particular se omite.

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Editar (4.4.2011): he encontrado en Diestel de Secuencias y series en espacios de Banach (cap. VII, Ejercicio 2(ii)) algo como esto:

Un operador acotado $T: c_0 \to X$ es compacto si y sólo si cada subserie de $\sum_{n=1}^\infty Te_n$ es convergente, donde $(e_n)$ es la base canónica para $c_0$.

Sé cómo probar esto, pero, ¿cómo podemos mostrar que los operadores de $T: c_0 \to \ell^1$ poseen la subserie de la propiedad?

Answer 1

Un muy bonito y corto la prueba de Pitt teorema (un poco más de una página, y que cubre el caso de que esté interesado en), fue recientemente dado por Sylvain Delpech MR revisión aquí, artículo en línea aquí.

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Añadió:

Permítanme dirección de sus preguntas en los comentarios de un paso peatonal ya que esto me parece más esclarecedor que apelar a la artillería pesada.

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Lema. Deje $X$ ser un espacio de Banach separable espacio dual $X'$. A continuación, cada delimitada secuencia $(x_{i})_i$ tiene una débil Cauchy larga.

Prueba. Deje $(\phi_{j})_{j}$ ser una densa secuencia en la $X'$ y supongamos $\|x_{i}\| \leq C$ todos los $i$.

1. (Diagonal truco)
   Desde $|\langle x_{i}, \phi_{1} \rangle| \leq C \|\phi_{1}\|$, podemos extraer una larga $(x_{i}^{(1)})_i$ $(x_{i})_i$ tal que $\langle x_{i}^{(1)} ,\phi_{1}\rangle$ converge. Asumir por inducción se ha construido una larga $(x_{i}^{(n)})_{i}$ tal que $\langle x_{i}^{(n)}, \phi_{j} \rangle$ converge para $j = 1, \ldots, n$. Entonces, como $|\langle x_{i}^{(n)}, \phi_{n+1} \rangle| \leq C \|\phi_{n+1}\|$ nos encontramos con una larga $(x_{i}^{(n+1)})_{i}$ $(x_{i}^{(n)})_{i}$ tal que $\langle x_{i}^{(n+1)}, \phi_{n+1} \rangle$ converge. Ahora pon $y_i = x_{i}^{(i)}$ y observar que $\langle y_i, \phi_j \rangle$ converge para todos los $j$.

2. (Desigualdad de triángulo)
   La secuencia de $(y_j)_j$ es un débil secuencia de Cauchy: Vamos a $\phi \in X'$ ser arbitraria y deje $\varepsilon \gt 0$. Elija $j$ tal que $\|\phi_j - \phi\| \lt \varepsilon$. Para $m,n$ lo suficientemente grande como para que podamos tener $|\langle y_n - y_m, \phi_j \rangle| \lt \varepsilon$, por lo tanto $$\begin{align*} |\langle y_{n} - y_{m}, \phi \rangle| & \leq |\langle y_{n}, \phi - \phi_j \rangle| + |\langle y_n - y_m, \phi_j \rangle| + |\langle y_m, \phi_j - \phi\rangle| \\ & \lt (2C + 1) \varepsilon \end{align*}$$ y por lo tanto $(y_j)_j$ es de hecho una débil secuencia de Cauchy.

Por supuesto, esto no es sino la costumbre Arzelà-Ascoli argumento.

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Editar más

Vobo señala en un comentario más abajo que uno puede demostrar que el lema en un golpe diciendo: Desde $X'$ es separable, la unidad cerrada balón $B_{X''}$ $X''$ con los débiles$^{\ast}$-topología es metrizable y es compacto por Alaoğlu. Por lo tanto cada secuencia en $B_{X''}$ tiene una débil$^{\ast}$-convergente larga, en particular, es débil,$^{\ast}$-Cauchy. Pero es una tautología de que una secuencia de $B_X$ es débil$^{\ast}$-Cauchy en $B_{X''}$ si y sólo si es débilmente de Cauchy en $B_X$, por lo que el lema de la siguiente manera.

Pero ¿qué hemos hecho en este argumento? En primer lugar, utilizamos una diagonal argumento para demostrar que $B_{X''}$ es compacto (para demostrar Alaoğlu necesitamos la ultrafilter lema, Tychonoff, Arzelà-Ascoli o lo que sea). Luego se utiliza la divisibilidad de las $X'$ a ver que los débiles$^{\ast}$-topología en $B_{X''}$ es segundo contable, por lo tanto metrizable por Urysohn. Para hacer esto un poco más explícitamente, se puede construir un indicador en $B_{X''}$ por la elección de un denso secuencia $\{\phi_{n}\}$ $B_{X'}$ y poner $d(x'',y'') = \sum 2^{-n} \frac{|\langle x'' - y'', \phi_n\rangle|}{1 + |\langle x'' - y'', \phi_n\rangle|}$. Que esta métrica se induce a los débiles$^{\ast}$-topología esencialmente es el argumento en el 2. por encima de. Entonces recordamos que compacto metrizable espacios son secuencialmente compacto y el uso de un poco de fantasía idioma. Desembalaje de todo esto y simplificando, obtenemos exactamente el argumento que me dio anteriormente. Por el contrario, la comprensión del argumento anterior nos da una manera de entender realmente lo que está pasando en todos estos teoremas, así que creo que no hemos perdido nada. Por el contrario.

Por supuesto, estoy de acuerdo en que se llama a estos teoremas artillería pesada está exagerando un poco...

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En cuanto a la segunda pregunta, un operador lineal entre localmente convexo espacios de $(E,\{|\cdot|_p\}_p)$ $(F,\{|\cdot|_q\}_q)$ es continua si y sólo si para cada una de las $q$ existe $p_1,\ldots,p_n$ $C \gt 0$ tal que para todos los $x \in E$ tenemos $|Tx|_q \leq C\sum |x|_{p_j}$. Dado que sabemos que $T$ es débil-norma continua tenemos $\|Tx\| \leq C \sum |\langle x, \phi_j \rangle|$ algunos $\phi_1, \ldots, \phi_n \in X'$, de modo que para un débil secuencia de Cauchy $(x_i)_i$ tenemos para $n,m$ suficientemente grande como para que $\|T(x_n - x_m)\| \leq C \sum |\langle x_n - x_m, \phi_j\rangle| \leq C \varepsilon$ y, por tanto, $(T(x_i))_i$ es de Cauchy en la norma.

Answer 2

En mi opinión, la prueba de estrategia es sencilla.

Deje $(x_n)$ ser una secuencia en $B_{c_0}$, la unidad de la bola de $c_0$. Como $((Tx_n)(1))_n$ es un almacén de secuencia de escalares, hay un almacén de larga convergentes para algunos escalares y_1. Ahora, inductivamente, tiene una sub-sub-... secuencia, llamada por simplicidad $(x_m)$$(x_n)$, y un elemento $y = (y_i)_i$ tal que para cada $i \in \mathbb{N}$ $(T(x_m)(i)) \to y_i$ como $m \to \infty$.

Ahora $\sum_i |y_i| \leq \sum_i |y_i - T(x_m)(i)| + \sum_i |T(x_m)(i)|$. El último de la serie está limitada por $||T||$ independientemente de $m$. La primera de la serie puede ser hecho arbitrario pequeña para un gran $m$ por la construcción. Por lo tanto $y \in l^1$ $T(x_m) \to y$ $m\to \infty$ en la norma (la primera de la serie).

Answer 3

Cualquier operador $T:c_0\to X$ falla al ser compacto, sólo si éste no puede ser estrictamente singular (ver Albiac y Kalton, Teorema $2.4.10$). Esto significaría que hay un infinito-dimensional subespacio $E\leq c_0$, de modo que $T|_E$ es una incrustación. Pero $c_0$ es auto-saturados, por lo que hay algunos $F\leq E$ isomorfo a $c_0$, e $T|_F$ es una incrustación. Así que si $T:c_0\to X$ falla al ser compacto, $X$ contiene una copia de $c_0$. Un corolario es que todos los operadores de $T:c_0\to \ell_p$ son compactos, $1\leq p<\infty$.

De hecho, esta es una caracterización de los espacios que contienen $c_0$. $X$ no contiene una copia de $c_0$ si y sólo si todos los operadores de $T:c_0\to X$ son compactos.