Homomorfismo de anillo del producto tensorial de álgebras

Question

Dejemos que $B, C$ ser dos $A$ -algebras, $f:A \to B, g: A\to C$ los homomorfismos de anillo correspondientes. A partir de esto podemos construir un $A$ -Álgebra $B \otimes _A C$ y el mapeo $ a \mapsto f(a) \otimes g(a)$ es el correspondiente homomorfismo de anillo $A \to B \otimes _A C$ .

Lo anterior es un resumen de una definición en las páginas 30,31 de Álgebra conmutativa de Atiyah . Me pregunto por qué la cartografía $ a \mapsto f(a) \otimes g(a)$ es un homomorfismo de anillo.
$$ a+b \mapsto f(a+b) \otimes g(a+b) $$ $$= f(a) \otimes g(a) + f(a) \otimes g(b) + f(b) \otimes g(a)+ f(b) \otimes g(b)$$ Ser un homomorfismo de anillo $f(a) \otimes g(b) + f(b) \otimes g(a) $ debe ser cero.
¿Cómo puedo saberlo?

Answer 1

Se trata de un error de Atiyah-Macdonald. Como dice Georges Elencwajg en este hilo de MathOverflow ,

Esto es falso ya que ese mapa no es un morfismo de anillo. El mapa estructural correcto $A\to D$ es en realidad $a\mapsto 1_B\otimes g(a) =f(a)\otimes 1_C$ .