No hay mucho que agregar que el artículo de Gordon, Jarvis, y Shaw que Alejandro Gruber vinculados, que explica las cosas bien y con mucho detalle. Me gustaría mostrar cómo usted puede obtener la lista de clase conjugacy tamaños para una gran parte con bastante facilidad, consiguiendo mucho kilometraje de un par de ideas generales. Te voy a dar referencias entre corchetes en los resultados relevantes en ese papel. Un punto no voy a entrar en todos es el isomorfismo $GL(4,\Bbb F_2)\cong A_8$ que Derek Holt mencionado, y que proporciona un completo enfoque independiente.
El punto principal será la clasificación de las clases conjugacy de matrices $A\in GL(4,\Bbb F_2)$ primero por el polinomio característico $\chi_A$, y si es necesario por su polinomio mínimo $\mu_A$ y otros factores invariantes. Yo voy a ordenar los factores invariantes frente a lo que es habitual (y lo que el papel lo hace), es decir, con cada siguiente polinomio divisor (en lugar de varios) de la anterior (esto tiene la ventaja de que la multiplicidad de cada factor irreducible es débilmente disminuyendo a lo largo de la lista, y forma una partición de su multiplicidad en $\chi_A$). Así, el primer factor invariante es $\mu_A$, y el producto de todos los factores invariantes es $\chi_A$ [teorema 1.1]. Muy a menudo (por ejemplo, cuando $\chi_A$ es cuadrado-libre) no es sólo un factor invariante, y la mínima y características de los polinomios coinciden; voy a llamar a esto el ordinario caso (como en el elemento regular de una Mentira grupo), aunque el papel de llamadas se utiliza el término "cíclica" [teorema 1.3(iii)], la cual es bastante justificada.
Desde $\chi_A$ $A\in GL(4,\Bbb F_2)$ puede ser cualquier monic polinomio de grado $4$ $\Bbb F_2$ con cero término constante, es útil hacer una lista de los polinomios irreducibles hasta que grado, excluyendo $X$. Entonces, queda un polinomio irreducible de cada uno de los grados $1,2$, que voy a llamar a $P_1=X+1$$P_2=X^2+X+1$, dos polinomios irreducibles de grado $3$ es decir $P_{3,1}=X^3+X+1$$P_{3,2}=X^3+X^2+1$, y tres polinomios irreducibles de grado $4$ es decir $P_{4,1}=X^4+X+1$, $P_{4,2}=X^4+X^3+1$ y $P_{4,3}=X^4+X^3+X^2+X+1$ (de hecho, sólo el número de irreducibles en cada uno de los grados que realmente importa).
El cómputo de la centraliser de cualquier matriz $A$ será la tarea principal. Cada matriz que conmuta con $A$ debe estabilizar cualquier kernel o la imagen de cualquier polinomio en $A$, y luego, por supuesto, también las intersecciones y uniones de aquellos. En particular, la descomposición canónica del espacio en una suma directa de espacios aniquilado por mutuo coprime factores del polinomio mínimo (cada uno de una potencia de un polinomio irreducible) [teorema 1.2] deben ser respetados por cada matriz de los desplazamientos con $A$, y esto conduce a un producto de la descomposición de la centraliser de $A$.
Uno muy útil es que en el caso habitual, la única de las matrices que conmutan con a $A$ son los que en el álgebra $F[A]$ de los polinomios en la $A$ [teorema 1.3(iii)]. Esto es debido a que en este caso no existe un "vector cíclico" $v$, es decir, uno de los cuales cualquier vector puede ser obtenida mediante la aplicación de un polinomio en $A$; luego si $B$ viajes con $A$, se muestra para $P\in F[A]$ $P\cdot v=B\cdot v$ que $P=B$.
Otro caso es relativamente fácil cuando se $A$ es semi-simple, es decir, diagonalisable a través de una extensión del campo de $F$ (tenga en cuenta que sólo puede invertir matrices que están diagonalisable $F=\Bbb F_2$ sí son las matrices de identidad!). Aquí el polinomio mínimo es de planta cuadrada, y el polinomio mínimo de cada componente de la descomposición primaria es un polinomio irreducible $P$; dicho componente es un módulo más de $F[X]/(P)$ que es un campo, y el componente correspondiente de la centraliser apropiado es el grupo lineal general sobre dicho campo.
Ahora podemos comenzar nuestra clasificación, después de comentar que $\#GL(4,\Bbb F_2)=15\times14\times12\times7=20160$.
$\chi_A$ es irreductible (tres casos $\chi_A=P_{4,i}$$i=1,2,3$); a continuación, los dos estamos en la regular y la semi-simple caso. Tenemos $F[A]\cong\Bbb F_{16}$ y el centraliser de $A$ $GL(4,\Bbb F_2)$ $C(A)=F[A]\setminus\{0\}\cong GL(1,\Bbb F_{16})=\Bbb F_{16}^\times$ ha $15$ elementos. Cada clase conjugacy tiene el tamaño de $20160/15=1344$, para un total de $3\times1344=4032$.
$\chi_A=P_{3,i}P_1$ $i=1,2$ (dos casos). Este es también un regular semi-simple caso, con $F[A]\cong\Bbb F_8\times\Bbb F_2$ $C(A)\cong\Bbb F_8^\times\times\Bbb F_2^\times$ ha $7\times1=7$ elementos, y cada clase conjugacy tiene el tamaño de $20160/7=2880$, para un total de $2\times2880=5760$.
$\chi_A=\mu_A=P_2^2$, un único caso regulares. Uno ha $F[A]\cong F[X]/(P_2^2)$, y de la $16$ elementos de este anillo, pero el $4$ queridos divisible por $P_2$ es invertible, por lo $\#C(A)=12$, la clase conjugacy tiene el tamaño de $20160/12=1680$.
$\chi_A=P_2^2$ $\mu_A=P_2$ , una sola, semi-simple caso. Uno ha $C(A)\cong GL(2,\Bbb F_4)$ ha $15\times12=180$ elementos; la clase conjugacy tiene el tamaño de $20160/180=112$ elementos.
$\chi_A=\mu_A=P_2P_1^2$, un único caso regulares. Uno ha $F[A]\cong \Bbb F_4\times F[X]/P_1^2$, e $C(A)=F[A]^\times$ $3\times(4-2)=6$ elementos, por lo que la clase conjugacy ha $20160/6=3360$ elementos.
$\chi_A=P_2P_1^2$ $\mu_A=P_2P_1$ , una sola, semi-simple caso. Uno ha $C(a)\cong \Bbb F_4^\times \times GL(2,\Bbb F_2)$ ha $3\times(3\times2)=18$ elementos, y la clase conjugacy tiene el tamaño de $20160/18=1120$.
$\chi_A=\mu_A=P_1^4$, un único caso regulares. Uno ha $F[A]\cong F[X]/(P_1^4)$ $C(A)\cong F[A]^\times$ $16-8=8$ elementos, por lo que la clase conjugacy tiene el tamaño de $20160/8=2520$.
$\chi_A=P_1^4$ $\mu_A=P_1^3$ , con un segundo factor invariante $P_1$. Este es un solo caso en el que no es ni regular ni semi-simple, así que tenemos que trabajar un poco más duro. Aquí $A$ es un unipotentes matriz con Jordania bloques de tamaño $3,1$; su centraliser es la misma que la de
$$
A-I=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0&\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}
$$
que puede ser explícitamente calculada a ha $1^2\times2^4=16$ elementos. La clase conjugacy ha $20160/16=1260$ elementos.
$\chi_A=P_1^4$ $\mu_A=P_1^2$ , con un segundo factor invariante $P_1^2$. De nuevo un caso que no es ni regular ni semi-simple; $A$ es un unipotentes matriz con Jordania bloques de tamaño $2,2$. Su centraliser es la misma que la de
$$
A-I=\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1&\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}
$$
que puede ser explícitamente calculada a ser un semidirect producto del espacio vectorial $\Bbb F_2^4$ $GL(2,\Bbb F_2)$ ha $2^4\times(3\times2)=96$ elementos. La clase conjugacy ha $20160/96=210$ elementos.
$\chi_A=P_1^4$ $\mu_A=P_1^2$ , con dos o más factores invariantes $P_1$. Aquí $A$ es un unipotentes matriz con Jordania bloques de tamaño $2,1,1$; su centraliser es la misma que la de
$$
A-I=\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0&\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}
$$
que puede ser explícitamente calculadas ha $2^5\times(3\times2)=192$ elementos. La clase conjugacy ha $20160/192=105$ elementos. Un suspiro de alivio, se necesita al menos una no-identidad de clase con un número impar de elementos.
$\chi_A=P_1^4$ $\mu_A=P_1$ . Otro semi-caso simple, de hecho, la matriz de identidad. Una clase singleton.
Una comprobación final: $3\times1334+2\times2880+1680+112+3360+1120+2520+1260+210+105+1=20160$, Uf!
Yo no mencione el orden de los elementos en cada clase, pero estos dependen sólo del polinomio mínimo, como se describe en esta respuesta.
