definición de la dimensión Krull de un módulo

Question

Deje que $R$ ser un anillo conmutativo con $1$ . Sabemos que el La dimensión Krull de $R$ es por definición la longitud de la cadena más larga de ideales primarios de $R$ .

Ahora si $M$ es un $R$ -módulo, el La dimensión Krull de $M$ es por definición $ \dim (M):= \dim (R/ \mathrm {Ann}_R(M))$ . Ya que todo ideal $I$ de $R$ es también un $R$ -módulo, la dimensión Krull de $I$ es $ \dim (I)= \dim (R/ \mathrm {Ann}_R(I))$ .

Sin embargo, en la literatura, la dimensión Krull de un ideal es $ \dim (I):= \dim (R/I)$ .

¿Son equivalentes las dos definiciones?

Answer 1

No son equivalentes, pero esto nunca (?) lleva a la confusión.

Supongamos por ejemplo que $R$ es un dominio, de modo que $ \mathrm {ann}_RI=0$ . Entonces, viendo $I$ como un módulo da $ \dim I= \dim R$ que la otra definición da $ \dim I= \dim R/I$ que suelen ser diferentes, para un ejemplo aburrido, tomemos $R=k[x]$ y $I=(x)$ .

Por supuesto, ya que usted tenía que preguntar, está claro que nunca que usé arriba necesita alguna calificación. Pero tan pronto como te acostumbras a la convención divertida la confusión desaparece. Tal vez uno debería decir que ït nunca lleva otra vez a la confusión después de que uno se ha desconcertado ... ¡El álgebra conmutativa es divertida!