Deje $\mathcal{S}_{\rho}$ ser el subespacio de vectores propios correspondientes a los valores propios $\lambda$ $A$ tal que $\rho(A)=|\lambda|$ y deje $\mathcal{V}_1$ ser el subespacio de izquierda vectores singulares de $A$ asociado con el máximo valor singular $\sigma_1=\|A\|_2$ $A$ (o, si se quiere, el autovector subespacio correspondiente al autovalor $\sigma_1^2$$A^*A$).
Tenemos que $\rho(A)=\|A\|_2$ si y sólo si $\mathcal{S}_{\rho}\cap\mathcal{V}_1\neq\{0\}$ (es decir, la intersección de dos subespacios es no trivial).
Tenga en cuenta que $\|Ax\|_2=\rho(A)\|x\|_2$ todos los $x\in\mathcal{S}_{\rho}$ desde $Ax=\lambda x$ algunos $\lambda$ tal que $|\lambda|=\rho(A)$ $\|Ax\|_2=\sigma_1\|x\|_2$ todos los $x\in\mathcal{V}_1$.
También, $\|Ax\|_2<\sigma_1\|x\|_2$ todos los $x\not\in\mathcal{V}_1$.
Por lo tanto, si $\mathcal{S}_{\rho}\cap\mathcal{V}_1$ es no trivial, entonces $\rho(A)\|x\|_2=\sigma_1\|x\|_2$ para algunos distinto de cero $x\in\mathcal{S}_{\rho}\cap\mathcal{V}_1$ y, por tanto,$\rho(A)=\sigma_1$.
Por otro lado, si $\mathcal{S}_{\rho}\cap\mathcal{V}_1$ es trivial, entonces cualquier valor distinto de cero $x\in\mathcal{S}_{\rho}$ no está contenido en $\mathcal{V}_1$ e lo $\rho(A)\|x\|_2=\|Ax\|_2<\sigma_1\|x\|_2$ para todos los distinto de cero $x\in\mathcal{S}_{\rho}$, resultando en $\rho(A)<\sigma_1$.
Vamos
$$
A=U\Sigma V^*
$$
ser el SVD de a $A$ y considerar la posibilidad de la partición
$$
A=[U_1,\tilde{U}]\begin{bmatrix}\sigma_1 I_{n_1} & 0 \\ 0 & \tilde{\Sigma}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_1^*\\\tilde{V}^*\end{bmatrix},
$$
es decir,
$$
AV_1=\sigma_1 U_1, \quad\tilde{V}=\tilde{U}\tilde{\Sigma},
$$
donde las columnas de a $V_1$ abarcan el subespacio $\mathcal{V}_1$. Si $\mathcal{S}_{\rho}\cap\mathcal{V}_1$ es trivial, podemos encontrar una transformación unitaria $M\in\mathbb{C}^{n_1\times n_1}$ tal que $V_1M=[V_{\rho},V_{\rho}^{\perp}]$ donde las columnas de a $V_{\rho}$ formulario de una base ortonormales de $\mathcal{S}_{\rho}\cap\mathcal{V}_1$ $V_{\rho}^{\perp}$ se extiende por el resto de $\mathcal{V}_1$. Por lo tanto
$$
AV_1M=A[V_{\rho},V_{\rho}^{\asesino}]=\sigma_1 U_1 M = \sigma_1[U_{\rho},U_{\rho}^{\asesino}],
$$
donde la partición de $U_1M$ es conforme a la partición de $V_1M$. Desde $Ax=\lambda x$ $|\lambda|=\rho(A)$ todos los $x$ en el rango de $V_{\rho}$, tenemos que las columnas $U_{\rho}$ $V_{\rho}$ están relacionados por $U_{\rho}=V_{\rho}D$ donde $D=\mathrm{diag}(e^{i\phi_1},\ldots,e^{i\phi_k})$ (donde $k$ es la dimensión de la $\mathcal{S}_{\rho}\cap\mathcal{V}_1$).
Por lo tanto, en términos de enfermedad vesicular porcina:
$\rho(A)=\|A\|_2$ fib $A$ tiene una enfermedad vesicular porcina $A=U\Sigma V^*$ con $\Sigma=\mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)$, $\sigma_1\geq\cdots\geq\sigma_n$, $U=[u_1,\ldots,u_n]$, $V=[v_1,\ldots,v_n]$, tal que $u_j=e^{i\phi_j}v_j$, $j=1,\ldots,k$, para algunos $k>0$.
