Cuando se hace en casi todas partes convergencia implica la convergencia en medida?

Question

Deje $f_n$ ser una secuencia de funciones medibles en un número finito de medir el espacio. Es cierto que

Si cada subsequence de $\{f_n\}$ tiene una larga que convergen a $f$ casi en todas partes, $f_n$ converge a $f$ en la medición?

Me han demostrado lo contrario en esta declaración, pero el problema dice que es, si y sólo si la instrucción. Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Podemos mostrar el contrapositivo.

Suponga que $f_n$ no concurre $f$ en la medida. Esto significa que no es$\delta\gt 0$, $\varepsilon\gt 0$ y una larga $(f_{n_k})_k$ tal que para cada una de las $k$, $$\mu\{|f_{n_k}-f|\gt \varepsilon\}\gt \delta.$$

Si $(f_{m_k})_k$ es una larga de $(f_{n_k})_k$, tenemos que demostrar que $f_{m_k}$ no convergen casi todas partes a $f$. Definir $A_k:=\{|f_{m_k}-f|\gt \varepsilon\}$. Entonces tenemos, el uso de la finitud de la medida del espacio, $$\mu\left(\limsup_{k\to \infty}A_k\right)=\mu\left(\bigcap_{j=1}^\infty\bigcup_{k\geqslant j}A_k\right)\geqslant \delta.$$

Answer 2

Este es un corolario de Egorova del teoremaque establece que:

Dado que en cierta medida el espacio de $(X,\Sigma,\mu)$ Deje de $f_n: E\rightarrow \mathbb{R}$ be a sequence of measurable functions on some $E \en \Sigma \mu(E)<\infty$. Where $f_n \rightarrow f^*$ pointwise for some $f^*: E \rightarrow \mathbb{R}$. Then for all $\epsilon > 0$, hay un conjunto $F_\epsilon \in \Sigma, F_\epsilon \subset E$ tal que $\mu(E\backslash F_\epsilon) < \epsilon$ $f_n \rightarrow f^*$ de manera uniforme en $E\backslash F_\epsilon$.

Se puede deducir el teorema de Egorova en sus el propios?