Demostrando que esta función debe ser aún

Question

Deje $u:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función continua que no es idénticamente igual a cero. Supongamos, además, que $u$ es una función impar (es decir. $u(\mathbf{x})=-u(-\mathbf{x})$). Deje $g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}$ ser continua. Me gustaría probar lo siguiente:

Si

$$ \int_{\mathbb{R}^d}u(\mathbf{x})f(g(\mathbf{x}))d\mathbf{x}=0 \qquad \forall f\in C_b(\mathbb{R})$$

a continuación, $g(\mathbf{x})=g(-\mathbf{x})$ todos los $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d$ $g$ es una función par.

Answer 1

No es la afirmación falsa? Deje $B:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser un golpe función centrada en $0$ de radio 1. Entonces si $$u(x) = B(x+1)-B(x-1)$$ y $$g(x) = B(x-k)$$ para $|k|>3$, entonces su integral converge y es cero para cualquier $f$, pero $g$ no es una función par.