Denso-en-sí abrir establece en un subespacio de la recta real

Question

Dada una multitud innumerable $X\subset [0,1]$ es fácil escribir $X$ como distinto de la unión de un conjunto perfecto de $P$ (perfecto en el subespacio $X$) y en la mayoría de los contables set $C$: simplemente tome $P$ como el conjunto de puntos de condensación de $X$ $C$ como su complemento en $X$. (consideramos a $X$ equipado con la topología de subespacio.)

Quiero encontrar un conjunto abierto en $X$ que es denso en sí misma.

Es esto posible? Un conjunto abierto de un denso-en-sí/espacio perfecto en sí es denso en sí misma, pero a partir de este punto estoy muy seguro de cómo proceder correctamente.

Cualquier comentario será apreciado. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Esta es una versión más fácil de Alex Ravsky's idea.

Deje $C$ será el habitual medio tercios conjunto de Cantor, vamos a $D$ el conjunto de los puntos medios de los intervalos abiertos eliminado en la construcción de $C$, y deje $X=C\cup D$; a continuación, $D$ es un denso conjunto de puntos aislados en $X$, lo $X$ no tiene denso-en-sí subconjunto abierto.

Answer 2

Parece que el siguiente.

Quiero encontrar un conjunto abierto en $X$ que es denso en sí misma. Es esto posible?

No siempre es posible. Deje $\{a_n\}$ ser una enumeración de todos los puntos racionales de la unidad segmento de $[0,1]$. Vamos $$X=\{(1/n, a_n):n\in\Bbb N\}\cup (\{0\}\times ([0,1]\setminus\Bbb Q)) \subset\Bbb R^2.$$ Then $X$ is an uncountable zero-dimensional metric space with a dense set of isolated points. But $X$ belongs to $\Bbb R^2$, not to $\Bbb R$. Para resolver este pequeño problema recordamos que cada cero-dimensional segundo contables espacio puede ser embebido en conjunto de Cantor, que puede ser incrustado dentro de la unidad de segmento.

(citado de "Topología General" de Ryszard Engelking. )