extensión de una medida no finita

Question

Para una medida finita sobre un campo $\mathcal{F_0}$ siempre existe su extensión a $\sigma(\mathcal{F_0})$ .

¿Puede alguien darme un ejemplo de una medida no finita sobre un campo que no pueda extenderse a $\sigma(\mathcal{F_0})$ .

Sería mejor si alguien puede señalar en la prueba (para la existencia de extensión de medida finita), donde se utiliza la propiedad de finitud.

Answer 1

Cada medida puede extenderse de un campo al generado $\sigma$ -álgebra. La prueba clásica de Caratheodory no se basa en que la medida sea finita, por lo que no existe tal ejemplo. Como Ilya mencionó en un comentario, la extensión puede no ser única. He aquí un ejemplo explícito:

Sea $\mathcal{F}$ sea el campo de subconjuntos de $\mathbb{Q}$ generados por conjuntos de la forma $(a,b]\cap\mathbb{Q}$ con $a,b\in\mathbb{Q}$ . Sea $\mu(A)=\infty$ para $A\in\mathcal{F}\backslash\{\emptyset\}$ . Es fácil ver que $\sigma(\mathcal{F})=P(\mathbb{Q})$ el powerset. Sea ahora $r>0$ sea un número real. Entonces existe una única medida $\mu_r$ tal que $\mu\big(\{q\}\big)=r$ para todos $q\in\mathbb{Q}$ . Así, para cada $r>0$ , $\mu_r$ es una extensión diferente de $\mu$ . Por tanto, existe un continuo de posibles extensiones de $\mu$ a $\sigma(\mathcal{F})$ . El ejemplo se basa en uno de Contraejemplos en Probabilidad y Análisis Real por Wise y Hall.

Answer 2

Desde Teorema de extensión de Carathéodory no requiere que los espacios sean sigma-finitos, no existe tal contraejemplo. (Como ya se ha dicho, en ausencia de sigma-finitud, desaparece la unicidad, no la existencia).