Ecuación diofántica cuadrática

Question

Hola :) Quiero dar una respuesta a la siguiente pregunta:

¿Para qué número primo $p$ podemos dar una solución de la ecuación diofántica dada por $x^2-65y^2=p$?

Quiero resolver la pregunta sin un sistema de álgebra computacional. Quiero resolverlo algebraicamente. Estuve pensando en lo siguiente:

Tal vez podamos usar la reciprocidad cuadrática, porque $x^2-65y^2=p$ es equivalente a $(x-y\sqrt{65})(x+y\sqrt{65})=p$, por lo que buscamos primos que se dividen en los enteros de $\Bbb{Q}(\sqrt{65})$. Pero, ¿cómo dar una respuesta general? ¿Alguien puede ayudarme? Gracias :)

Answer 1

En gran parte porque $65 \equiv 1 \pmod 8,$ la forma $x^2 - 65 y^2$ representa exactamente los mismos números impares que $x^2 + x y - 16 y^2.$ Es decir, residuos módulo 5 y módulo 13. Por el Teorema Chino del Resto. Entonces, todos los primos $1,4,9,14,16,29,36,49,51,56,61,64 \pmod {65}.$ Por ejemplo, $$ 1 \pmod {65}: \; \; \; 131 = 14^2 - 65 \cdot 1^2. $$ $$ 4 \pmod {65}: \; \; \; 199 = 28^2 - 65 \cdot 3^2. $$ $$ 9 \pmod {65}: \; \; \; 139 = 42^2 - 65 \cdot 5^2. $$ $$ 14 \pmod {65}: \; \; \; 79 = 12^2 - 65 \cdot 1^2. $$ $$ 16 \pmod {65}: \; \; \; 211 = 74^2 - 65 \cdot 9^2. $$ $$ 29 \pmod {65}: \; \; \; 29 = 17^2 - 65 \cdot 2^2. $$ $$ 36 \pmod {65}: \; \; \; 101 = 19^2 - 65 \cdot 2^2. $$ $$ 49 \pmod {65}: \; \; \; 179 = 58^2 - 65 \cdot 7^2. $$ $$ 51 \pmod {65}: \; \; \; 181 = 21^2 - 65 \cdot 2^2. $$ $$ 56 \pmod {65}: \; \; \; 251 = 106^2 - 65 \cdot 13^2. $$ $$ 61 \pmod {65}: \; \; \; 61 = 49^2 - 65 \cdot 6^2. $$ $$ 64 \pmod {65}: \; \; \; 389 = 83^2 - 65 \cdot 10^2. $$

EEEDDDIIIITTT: En caso de que alguien esté buscando. Lo primero importante fue que $8^2 - 65 \cdot 1^2 = -1.$ Es decir, (y esto es inusual para números compuestos como 65), no necesitamos prestar atención a los signos $\pm$ en ningún lugar. Creo que lo que haré a continuación es mostrar el ciclo completo de Lagrange para el género principal y el género secundario, primero para el discriminante 65 y luego para 260.

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jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle
Ingrese tres coeficientes a b c para f(x,y)= a x^2 + b x y + c y^2 
4 1 -4

  0  forma              4           1          -4

           1           0
           0           1

Para Devolver  
           1           0
           0           1

0  forma   4 1 -4   delta  -1
1  forma   -4 7 1   delta  7
2  forma   1 7 -4   delta  -1
3  forma   -4 1 4   delta  1
4  forma   4 7 -1   delta  -7
5  forma   -1 7 4   delta  1
6  forma   4 1 -4
mínimo fue   1rep -1 -1 disc   65 dSqrt 8.0622577483  M_Ratio  4.0625
Automorfo, escrito a la derecha de la matriz de Gram:  
-113  -128
-128  -145
 Trazar:  -258   mcd(a21, a22 - a11, a12) : 32
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jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 
    jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle
Ingrese tres coeficientes a b c para f(x,y)= a x^2 + b x y + c y^2 
2 7 -2

  0  forma              2           7          -2

           1           0
           0           1

Para Devolver  
           1           0
           0           1

0  forma   2 7 -2   delta  -3
1  forma   -2 5 5   delta  1
2  forma   5 5 -2   delta  -3
3  forma   -2 7 2   delta  3
4  forma   2 5 -5   delta  -1
5  forma   -5 5 2   delta  3
6  forma   2 7 -2
mínimo fue   2rep 1 0 disc   65 dSqrt 8.0622577483  M_Ratio  16.25
Automorfo, escrito a la derecha de la matriz de Gram:  
-17  -64
-64  -241
 Trazar:  -258   mcd(a21, a22 - a11, a12) : 32
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jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle
Ingrese tres coeficientes a b c para f(x,y)= a x^2 + b x y + c y^2 
1 0 -65

  0  forma              1           0         -65  delta      0
  1  forma            -65           0           1  delta      8
  2  forma              1          16          -1

          -1          -8
           0          -1

Para Devolver  
          -1           8
           0          -1

0  forma   1 16 -1   delta  -16
1  forma   -1 16 1   delta  16
2  forma   1 16 -1
mínimo fue   1rep 1 0 disc   260 dSqrt 16.124515497  M_Ratio  260
Automorfo, escrito a la derecha de la matriz de Gram:  
-1  -16
-16  -257
 Trazar:  -258   mcd(a21, a22 - a11, a12) : 16
=========================================
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 
    jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle
Ingrese tres coeficientes a b c para f(x,y)= a x^2 + b x y + c y^2 
5 0 -13

  0  forma              5           0         -13  delta      0
  1  forma            -13           0           5  delta      1
  2  forma              5          10          -8

          -1          -1
           0          -1

Para Devolver  
          -1           1
           0          -1

0  forma   5 10 -8   delta  -1
1  forma   -8 6 7   delta  1
2  forma   7 8 -7   delta  -1
3  forma   -7 6 8   delta  1
4  forma   8 10 -5   delta  -2
5  forma   -5 10 8   delta  1
6  forma   8 6 -7   delta  -1
7  forma   -7 8 7   delta  1
8  forma   7 6 -8   delta  -1
9  forma   -8 10 5   delta  2
10  forma   5 10 -8
mínimo fue   5rep 1 0 disc   260 dSqrt 16.124515497  M_Ratio  10.4
Automorfo, escrito a la derecha de la matriz de Gram:  
-49  -128
-80  -209
 Trazar:  -258   mcd(a21, a22 - a11, a12) : 16
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jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ 

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