Considere el siguiente problema:
Si $f$ es un holomorphic función en la franja de gaza $S=\{z=x+iy:-1<y<1,x\in{\Bbb R}\}$ con $$ |f(z)|\leq Una(1+|z|)^{\eta} \etiqueta{1} $$ para todos los $z\in S$ donde $\eta$ fijo es un número real, muestran que para cada entero $n\geq 0$ existe $A_n\geq 0$, de modo que $$ |f^{(n)}|\leq A_n(1+|x|)^{\eta}\etiqueta{2} $$ para todos los $x\in{\Bbb R}$.
Deje $C_R=\{z\in{\Bbb C}:|z|=R\}$. A continuación, para cada $0<R<1$, por la desigualdad de Cauchy, tenemos $$ |f^{(n)}(x)|\leq\frac{n!}{R^n}\|f\|_{x+C_R}\leq \frac{n!}{R^n} (1+|x|+R)^\eta\etiqueta{3} $$ donde$x+C_R=\{x+z:z\in C_R\}$$\|f\|_{x+C_R}=\sup\{f(z):z\in x+C_R\}$. Pero no veo cómo puedo deshacerme de la $R$ aquí. Alguna ayuda?
