Encuentre la enésima derivada

Question

Encuentre el derivado$n$ th de la función$$y=\ln(ax+b).$ $

He calculado las siguientes derivadas:$$y'=\frac{a}{ax+b}$ $$$y''=\frac{-a^2}{(ax+b)^2}$ $$$y'''=\frac{2a^3}{(ax+b)^3}$ $ Creo que$$y^{(n)}=\frac{(-1)^n c a^n}{(ax+b)^n}$ $ Pero no pude determinar el patrón de la constante$c$ ¿Cómo Lo determino?

Answer 1

Podemos mostrar por inducción$y^{(n)}=\frac{(-1)^n(n-1)!a^n}{(ax+b)^n}$

Para la nota inductiva, podemos escribir la derivada$n+1$ - th como sigue:

$\frac{d}{dx} (-1)^n(n-1)!a^n(ax+b)^{-n}=(-1)^n(-n)(n-1)! a^{n+1}(ax+b)^{-n-1}=\frac{(-1)^{n+1}n!a^{n+1}}{(ax+b)^{n+1}}$

La segunda igualdad se sigue de las reglas de la cadena y la potencia.

Answer 2

Por inducción, usted muestra que si establecemos (presumiendo$a$ y$b$ no son cero)

$$f(x) = \ln(ax+b),$ $ luego tenemos$$f^n(x)=\frac{a^n(-1)^{n-1}(n-1)!}{(ax+b)^n}$ $