Manera analítica de estimar la suma de las funciones de piso

Question

Hola Matemáticas De Intercambio De La Pila,

Estoy trabajando en un problema que involucra la diferencia entre la suma de la serie de piso funciones. He tratado de tomar el más estándar de la teoría de los números acercamiento mirando resto de las clases y la aritmética modular, pero no ha tenido éxito real, así que estoy esperando para tomar un enfoque analítico y fue en busca de ayuda.

Vamos,

$$f(L) = \sum_{k=2}^{\frac{L}{2}}{\lfloor{\frac{L}{k}}\rfloor}$$

y

$$\Delta(c,L) = f(L+c) - f(L) = \sum_{k=2}^{\frac{L}{2}}{\lfloor{\frac{L+c}{k}\rfloor - \lfloor\frac{L}{k}}\rfloor}$$

Para el problema de podemos suponer que c es un entero y es muy, muy pequeña en comparación con L. Así que, dado que las ecuaciones anteriores tengo un par de preguntas y cualquier ayuda en cualquiera de ellos sería genial!

1) ¿existen ya una rápida identidad de f(L) o $\Delta(c,L)$?

2) Si no existe una buena identidad, hay un modo analítico para estimar f(L) o $\Delta(c,L)$ o aproximado?

Gracias a ustedes por tomarse el tiempo para mirar por encima de esto!

Answer 1

Su $f(L)$ está muy estrechamente relacionado con el estilo clásico estudiado $$ D(X) = \sum_{n \leq X} \left\lfloor \frac{X}{n} \right\rfloor = \sum_{n \leq X} d(n) = X \log X + c X + O(X^{1/3})$$ para un conocido constante $c$. Esto es a veces llamado "Dirichlet Divisor problema", y se puede encontrar más información sobre el Divisor summatory problema de la página en la wikipedia. Tomo nota de que el $X^{1/3}$ es realmente conjecturally $X^{1/4}$, tal vez con algunas de registro de factores.

Entonces su $f(L) = D(L) - L$. Realmente no se puede esperar comprender la $f(L)$ mejor que las masas de hombres que lo han probado en una tranquila desesperación para mejorar las estimaciones de $D(L)$. La frase clave para empezar a aprender acerca de estas técnicas es buscar "la hipérbola método" por el divisor problema.

Este asintótica también le dará la orden principal asintótica para $\Delta(c, L)$.