Me preguntaba cuando sostuvo que
$$\int\limits_0^x fg=\left(\int\limits_0^xf\right)\left(\int\limits_0^xg\right)$$
Vamos
$$P:= x \mapsto \int\limits_0^x fg$$ $$F:= x \mapsto \int\limits_0^x f$$ $$G:= x \mapsto \int\limits_0^x g$$
La igualdad se convierte en $$P=FG$$
Obviamente $f\equiv 0$ o $g\equiv 0$ son soluciones.
Pero hay otras soluciones?
Si la búsqueda de soluciones de la forma
$$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n$$ $$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_nx^n$$
Usted obtener
$$fg(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} c_nx^n$$ $$P(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}C_nx^n$$ $$F=\sum_{n=0}^{+\infty} A_n x^n$$ $$G=\sum_{n=0}^{+\infty} B_n x^n$$ $$FG(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} D_n x^n$$
donde
$$\forall n \in \Bbb N, c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}$$ $$\forall n \in \Bbb N^*, C_{n} = \cfrac{c_{n-1}}{n} = \cfrac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{n-1}a_kb_{n-k-1}\right)\text{ and } C_0 = 0$$ $$\forall n \in \Bbb N^*, A_{n} = \cfrac{a_{n-1}}{n}\text{ and } A_0 = 0$$ $$\forall n \in \Bbb N^*, B_{n} = \cfrac{b_{n-1}}{n}\text{ and } B_0 = 0$$ $$\forall n \in \Bbb N, D_{n} = \sum_{k=0}^nA_kB_{n-k}=\sum_{k=1}^{n-1}A_kB_{n-k}=\sum_{k=1}^{n-1}\cfrac{a_{k-1}}{k}\cfrac{b_{n-k-1}}{n-k}$$
Y la igualdad se convierte en
$$\forall n \in \Bbb N, C_n=D_n$$
Siempre tenemos que $$C_0=0=D_0$$
Pero también tenemos $$0=D_1=C_1=a_0b_0$$. Since the problem is symmetric in $f$ and $g$ and hence in $a_n$ and $b_n$, we can assume WLOG that $a_0=0$.
Que da $$C_{n} = \cfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_{n-k-1}\right)$$
Entonces, la igualdad se convierte en
$$\forall n\in \Bbb N, \cfrac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_{n-k-1}\right)=\sum_{k=1}^{n-1}\cfrac{a_{k-1}}{k}\cfrac{b_{n-k-1}}{n-k}$$
Y entonces no estoy seguro de lo que debo hacer...
Y también me gustaría saber si hay soluciones que no son de este formulario.
Gracias de antemano por sus respuestas.
