¿Prueba elemental de ortogonalidad de las traducciones de$\text{sinc}$?

Question

Contexto: La solución que se dio aquí se utiliza la teoría de templado de distribuciones; también hubo varios bits de handwaving que necesitaba ser llenado. Finalmente encontré una completamente primaria prueba de la "Propiedad Mágica" - la respuesta a la pregunta siguiente fue la última pieza en el rompecabezas. Tengo una gran sonrisa de la solución - de pasar, porque yo no se ustedes nada para la Navidad... $\newcommand{\sinc}{\text{sinc}}$

Definir $\sinc(t)=\sin(t)/t$ como de costumbre.

Pregunta: ¿Cómo puede uno dar una primaria de prueba de que $$\int_{-\infty}^\infty\sinc(t)\sinc(t-n\pi)\,dt=0$$for $n\in\mathbb Z$, $n\ne0$?

Comentario: Si usted nota que $\sinc(t)=\frac12\int_{-1}^1e^{ixt}\,dx$, esto es más o menos obvio de que el Teorema de Plancherel. Queremos una solución mucho más simple que la respuesta utiliza nada pero de cálculo, y no "duro" cálculo, ya sea...

Answer 1

Tenemos $$ \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty\sinc(t)\sinc(t-n\pi)\,dt&=(-1)^n\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2(t)}{t(t-n\pi)}\,dt\\ &=\frac{(-1)^n}{n\pi}\int_{-\infty}^\infty \sin^2(t)\left(\frac{1}{t-n\pi}-\frac{1}{t}\right)\,dt. \end {align *} $$ Aquí es tentador separar esta integral como la diferencia de dos integrales, y observar que una sustitución muestra que esas integrales son iguales. Sin embargo, las integrales son divergentes por separado, por lo que se necesita cierto cuidado. Dejando caer la constante al frente, podemos escribir esta última integral como $$ \begin{align*} \lim_{N\to\infty}\int_{-N}^N \sin^2(t)\left(\frac{1}{t-n\pi}-\frac{1}{t}\right)\,dt&=\lim_{N\to\infty} \int_{-N}^N \frac{\sin^2(t)}{t-n\pi}\,dt - \int_{-N}^N\frac{\sin^2(t)}{t}\,dt\\ &=\lim_{N\to\infty}\left(\int_{-N-n\pi}^{-N}-\int_{N-n\pi}^N\right)\frac{\sin^2(t)}{t}\,dt. \end {align*} $$ La expresión final está limitada por$2\pi n/(N-n\pi)$, que va a$0$ como$N\to\infty$.