Colección finita de funciones de Lipschitz.

Question

Dejar $I=\{1,...,n\}$, $\{f_i\}_{i\in I},f_i:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},\forall i$, $a>0$. Suponer:$$|f_i(x)-f_i(y)|\leq a|x-y|,\forall x,y\in \mathbb{R},i\in I.$ $ Put:$$f(z)=\max_{i\in I}f_i(z),\forall z\in \mathbb{R}$ $

Podemos tener eso:$$|f(x)-f(y)|\leq a|x-y|,\forall x,y\in \mathbb{R}.$ $

Answer 1

Sí,$f$ es Lipschitz continuo con la constante Lipschitz$a$ también.

Si$f(x) = f(y)$, la desigualdad$\lvert f(x) - f(y)\rvert \leqslant a\lvert x-y\rvert$ es trivialmente verdadera. Si$f(x) \neq f(y)$, elija la nomenclatura para que$f(y) > f(x)$. Deje$i,j$ para que$f(x) = f_i(x)$ y$f(y) = f_j(y)$. Entonces$f_j(x) \leqslant f_i(x)$ y por lo tanto

ps

por la suposición sobre$$0 < f(y) - f(x) = f_j(y) - f_i(x) \leqslant f_j(y) - f_j(x) \leqslant a\lvert y-x\rvert$.