$xy' + 1 = e^{x-y}$

Question

Necesito ayuda para resolver esta ecuación diferencial

$xy' + 1 = e^{x-y}$

Escribí esto como$xe^ydy = (e^x-e^y)dx$ e intenté encontrar el factor de integración pero sin éxito. Cualquier ayuda será muy apreciada. Encontré este problema de examen de ingreso para alguna universidad

Answer 1

Multiplicar por$e^y$ da$$xy'e^y+e^y=\frac{d}{dx}(xe^y)=e^x,$$so we get the general solution $$y=\ln\frac{e^x+C}x,$ $ inmediatamente.

Answer 2

De la manera que usted ha escrito su ODA, es muy probable que usted estaba tratando de resolver su problema de forma exacta la ecuación diferencial. Por lo tanto, voy a seguir utilizando su enfoque.

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Como usted ha escrito, no hay ninguna necesidad de encontrar un factor de integración. Recordemos que dadas las funciones $P (x,y) $ $Q (x,y) $ con derivadas parciales continuas en un cierto dominio de $D $, la ecuación de $P (x,y)~dx+Q (x,y)~dy=0$ es exacta si y sólo si: $$\frac {\partial P}{\partial y}=\frac {\partial Q}{\partial x} $$ Aquí, tenemos $P(x,y)=e^y-e^x $$Q (x,y)=xe^y $, y la condición se satisface.

Ahora sólo hay que aplicar el procedimiento estándar para resolver tales.

Answer 3

$$e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$$hence $$xy' + 1 = \frac{e^x}{e^y}\implies xy'e^y+e^y=e^x$$set $ y = \ ln u, e ^ y = u, y '= \ frac {u'} u$ to get $$x\frac{u'}uu+u=e^x\implies xu'+u=e^x$$also note that $ \ dfrac {d} {dx} (xu) = xu '+ u$ so we get $$\dfrac{d}{dx}(xu)=e^x\implies xu=\int e^x=e^x+c\implies u=\frac{e^x+c}{x}$$now remember that $ y = \ ln u$ to get $% # ps

Answer 4

Insinuación

Sustituir$y=\ln(f(x))$ y$f(x)=e^y$

Entonces la ecuación se vuelve simple ...

tengo

ps

ps

ps

ps

ps

Answer 5

Necesitamos resolver$$xy' + 1 = e^{x-y}$$ First multiply both sides by $ e ^ ​​{y}$ to get $$xy'e^{y} + e^{y} = e^{x}$ $ Luego observe que el lado izquierdo es un derivado total
$$ (xe^{y})' = e^{x}$$ Integrate both sides to get $$ (xe^{y}) = e^{x} +C$$ Divide both sides by $ x$ to get $$ e^{y} = (e^{x} +C)/x$$ Therefore $$ y = ln((e^{x} +C)/x).$ $