Integral de la función $ (1+|x|^2)^{-k}$

Question

Quiero demostrar que la $$\int _{ { R }^{ n } }{ \frac { 1 }{ { (1+{ |x| }^{ 2 }) }^{ k } } } <\infty $$ if $k>\frac n 2$; where |x| is the usual norm in ${R}^{n}$. I tried this: $$\int _{ { R }^{ n } }{ \frac { 1 }{ { (1+{ |x| }^{ 2 }) }^{ k } } }=\int _{ { R }^{ n }-{ B }_{ 1 }(0) }{ \frac { 1 }{ { (1+{ |x| }^{ 2 }) }^{ k } } } + \int _{ { B }_{ 1 }(0) }{ \frac { 1 }{ { (1+{ |x| }^{ 2 }) }^{ k } } } $$ where ${ B }_{ 1 }(0)$ is the unit ball, the second term of the sum is finite since $$\int _{ { B }_{ 1 }(0) }{ \frac { 1 }{ { (1+{ |x| }^{ 2 }) }^{ k } } } \le \int _{ { B }_{ 1 }(0) }{ \frac { 1 }{ { ({ |x| }^{ 2 }) }^{ k } } }<\infty $$ if $k>\frac n 2$, pero no sé cómo calcular el primer término de la suma, alguna idea?

Answer 1

$$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^n}{\frac{\mathrm{d}x}{\left(1+|x|^2\right)^k}} &=\omega_{n-1}\int_0^\infty\frac{r^{n-1}\,\mathrm{d}r}{\left(1+r^2\right)^k}\tag1\\ &=\frac{\omega_{n-1}}2\int_0^\infty\frac{r^{\frac n2-1}\,\mathrm{d}r}{\left(1+r\right)^k}\tag2\\ &=\frac{\pi^{\frac n2}}{\Gamma\!\left(\frac n2\right)}\frac{\Gamma\!\left(\frac n2\right)\Gamma\!\left(k-\frac n2\right)}{\Gamma(k)}\tag3\\ &=\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{\pi^{\frac n2}\Gamma\!\left(k-\frac n2\right)}{\Gamma(k)}}\tag4 \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: convertir a coordenadas polares
$(2)$: sustituto $r\mapsto r^{\frac12}$
$(3)$: aplicar $(9)$ y la Beta de la Función
$(4)$: cancelar los factores comunes

Fórmula $(4)$ es finito para $k\gt\frac n2$.

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Cálculo de $\boldsymbol{\omega_{n-1}}$ $$ \begin{align} 1 &=\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\pi|x|^2}\mathrm{d}x\tag5\\ &=\omega_{n-1}\int_0^\infty e^{-\pi r^2}r^{n-1}\,\mathrm{d}r\tag6\\ &=\frac{\omega_{n-1}}2\int_0^\infty e^{-\pi r}r^{\frac n2-1}\,\mathrm{d}r\tag7\\ &=\frac{\omega_{n-1}}2\pi^{-\frac n2}\Gamma\!\left(\frac n2\right)\tag8 \end{align} $$ Explicación:
$(5)$: integral es el producto de $n$ copias de $\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}\mathrm{d}x=1$
$(6)$: convertir a coordenadas polares
$(7)$: sustituto $r\mapsto r^{\frac12}$
$(8)$: aplicar la Función Gamma

La ecuación de $(8)$ implica $$ \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{\frac n2}}{\Gamma\!\left(\frac n2\right)}\tag9 $$

Answer 2

Por coordenadas Polares tenemos

$$\int_{\Bbb R^n}\frac{dx}{(1+|x|^2)^k}\mathrm dr= c_n\int_0^\infty\frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^k} dr = c_n\int_0^1\frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^k} dr + c_n\int_1^\infty\frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^k} dr $$

donde $c_n $ es el área de la unidad de la esfera. Por Riemann integral la integral anterior converge si y sólo si $2k-n>0$ desde

$$\int_1^\infty\frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^k} dr \le\int_1^\infty \frac{1}{r^{2k-n+1}} dr $$

Answer 3

Tenga en cuenta que la conversión a hyperspherical coordenadas de su integral es $$ \lim_{R\to \infty}\int_{\parcial B(0,1)}\int_0^R\frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^k}\mathrm dr\mathrm dS $$ donde $\mathrm dS$ es el elemento de superficie en función sólo sobre las variables angulares. I. e la costumbre de la integración de más de conchas método. Ahora, si $n\alpha(n)^{n-1}$ denota el área de la superficie de la unidad de la esfera, su integral es, de hecho, $$ n\alpha(n)^{n-1}\lim_{R\to \infty}\int_0^R\frac{r^{n-1}}{(1+r^2)^k}\mathrm dr $$ una sola variable integral, con el integrando asintótica $$ \frac{r^{n-1}}{r^{2k}} $$ en el infinito. Ahora si $2k>n+\epsilon$$\epsilon>0$,$r>1$, $$ \frac{r^{n-1}}{r^{2k}}<\frac{r^{n-1}}{r^{n+\epsilon}}=\frac{1}{r^{1+\epsilon}} $$ que es integrable lejos de $0$. Ya que esta es la única singularidad que tiene que preocuparse, de que se hacen.