Supongamos que para algún número real $a$ existía una próxima mayor número real $a'$. Ahora incluso la mayoría de las definiciones básicas de cálculo se supone que se puede tomar la suma y diferencia de dos números reales. Por lo tanto, no tendría que existir el número de $\epsilon := a'-a$. Ahora $\epsilon$ sería el más pequeño número real positivo, ya que si hubo un número $0<\epsilon'<\epsilon$, entonces tendríamos $a < a+\epsilon' < a+\epsilon=a'$ en contradicción con la hipótesis original de que $a'$ es el siguiente número después de $a$.
Sin embargo, si $\epsilon$ es el menor número posible, ¿qué acerca de la $\epsilon/2$? Claramente que también debe ser positiva, pero menor que $\epsilon$! Así que la única manera de hacer que la demanda consistente es declarar que el $\epsilon$ no puede ser dividido. Ahora esto ya es bastante grave restricción; pero luego de aceptar el mismo para los números enteros (en los enteros, $1$ no puede ser dividido por $2$), asi que por el momento solo aceptamos. A continuación, todo lo que es bueno, correcto?
Bien, no. En primer lugar, nos damos cuenta de que $\epsilon$ no puede ser un número racional, ya que cualquier número racional es divisible por $2$. Pero $\epsilon$ es el menor número positivo, por lo que es menor que todos los números racionales. Todavía no parecer una gran cosa, ¿verdad?
Pero entonces, considerar la secuencia de $a_n = \frac{1}{n}$. En los números racionales esto converge a $0$. Pero todos los $a_n$ son racionales y positivos, por lo tanto para todos los $n$, nos encontramos con que $\epsilon < |a_n-0| = a_n$. Así que tal vez no converge a $\epsilon$ lugar? No, porque exigimos que se puede sumar y restar términos con $\epsilon$ (y sin eso, no podemos ni siquiera podía definir la convergencia!), y por lo tanto también tiene que existir el número de $2\epsilon = \epsilon+\epsilon$. Y es fácil ver que $2\epsilon$ no puede ser racional, de lo contrario, la mitad de la que sería, también, pero la mitad de $2\epsilon$$\epsilon$, que ya hemos identificado como la no-racional. Y entonces nos encontramos con que $a_n > 2\epsilon$ y, por tanto,$\epsilon < |a_n-\epsilon|$. Podemos continuar este juego, y encontramos que podemos encontrar ningún número al que $a_n$ converge!
Pero la razón por la que introducir los números reales es exactamente para obtener los límites de las secuencias que no convergen en los racionales, pero "parece" secuencias convergentes. Pero ahora, con la asunción de un número siguiente, para cualquier número real, nos da bastante el resultado opuesto: Ahora incluso secuencias que convergen bastante bien en los números racionales ya no convergen en los números reales!
Afortunadamente, en la propia definición de los números reales no existe un siguiente número para cualquier número real (así como no existe un siguiente número para cualquier número racional), y por lo tanto todos aquellos que no surjan problemas.
También tenga en cuenta que la fuente última de los problemas observados fue que a partir de la suposición de que nos pudieran derivarse de un número positivo menor que todo número racional positivo. Por lo tanto, cualquier construcción que presenta tales números (llamados números infinitesimales) se ejecuta con los mismos problemas.
Ahora no ¿ existe algo que se llama no-estándar de análisis que de hecho introducir números infinitesimales (pero no un próximo número a un número). Pero sólo puede hacerlo en el costo de deshacerse de los límites y re-definición de prácticamente todos los conceptos de análisis.
