Mentira algebra de un vector horizontal de campo y fundamentales de un campo vectorial

Question

Deje $G$ ser una Mentira grupo, $\mathfrak{g}$ ser su Mentira álgebra, $(P,M,G)$ principal $G$ paquete con conexión a $\omega$.

Por un vector horizontal de campo en $P$, nos referimos a un campo de vectores $X:P\rightarrow TP$ tal que $X(p)\in T_pP$ es en realidad un vector horizontal para cada una de las $p\in P$.

Dado un elemento $A\in \mathfrak{g}$ definimos un campo de vectores en $P$, que calificó de fundamental campo de vectores asociado a $A$ $X(p)=(R_p)_{*,e}(A)$ donde $R_p:G\rightarrow P$ se define como $g\mapsto pg$. Sólo para enfatizar la relación de la con $A$ se denota por a $A^*$.

Ahora la pregunta es para probar que si $X$ es un vector horizontal de campo en $P$ $A^*$ es fundamental campo de vectores asociado a $A$, entonces la Mentira brakcte$[X,A^*]$ es un vector horizontal de campo.

Realmente no entiendo cómo se puede comprobar que algo es un vector horizontal de campo.

Hay una prueba que utiliza la noción de mentira derivado de la relación con la mentira de soporte. Me estoy confundido con eso.

Hay otros métodos para probar esto..?

Answer 1

No estoy seguro de si hay una directa/alternativos de prueba, pero por lo que puedo ver, la cuestión no está realmente relacionado con el hecho de que tratar con la horizontal campos. Lo que realmente está pasando aquí es que usted está tratando con un $G$-invariante de distribución de $E\subset TG$. Este meanst que se denota por a $r^g:P\to P$ el principal derecho de acción de $g\in G$ y $E_u\subset T_uP$ el subespacio dado por la distribución en un punto de $u\in P$, entonces usted consigue $E_{u\cdot g}=T_ur^g(E_u)$. (El hecho de que la distribución horizontal es $G$-invariante es exactamente lo que distingue a una entidad de seguridad de conexión a partir de una haz de fibras de conexión en un principal paquete.)

Ahora hay un infinitesimal versión de $G$invariancia de una distribución $E$. Este es exaclty que para cada sección de $\xi$ $E$ y cada uno de los fundamentales de campo vectorial $A^*$, también se $[A^*,\xi]$ es una sección de $E$. El punto acerca de este hecho es que el flujo de $A^*$ a $t$ está dado por $r^{\exp(tA)}$. Esto demuestra que tirar de $\xi$ por este flujo, que siempre tienen una sección de $E$ y la relación entre este retroceso y de la Mentira de soporte implica directamente que $[A^*,\xi]$ tiene valores en $E$.

Alternativamente, usted puede deducir de la declaración de propiedades de $G$-secciones invariantes. Es fácil ver que cualquier $G$-invariante de distribución admite local marcos consta de $G$-secciones invariantes. (En su caso, uno podría tener la horizontal de los ascensores de los elementos de un local en el marco de la base.) Denota un marco de $\eta_i$, puede localmente escribir $\xi=\sum_if_i\eta_i$ para las funciones lisas $f$. Desde cada una de las $\eta_i$ es invariante a su retirada a lo largo de $r^{\exp(tA)}$ es de nuevo $\eta_i$ y esto implica que $[A^*,\eta_i]=0$ todos los $i$. Pero, a continuación, $$ [A^*,\xi]=\estilo de texto\sum_i [A^*,f_i\eta_i]=\sum_i(A^*\cdot f)\eta_i $$
y eso, evidentemente, es horizontal.