Hausdorff Contables Compacto Espacios Conectados es un único punto

Question

Es cierto que si un espacio Topológico Hausdorff, Contables, Compacto, y Espacios Conectados, entonces es un único punto?

Answer 1

Si el espacio de $X$ es compacto y Hausdorff es un espacio normal, y en particular, se puede separar distintos puntos por funciones continuas.

Supongamos $X$ tenía dos puntos distintos $a\not=b$. Entonces, no sería una función continua $$ f:X\to [0,1] $$ tal que $f(a)=0$$f(b)=1$. Deje $x\in (0,1)$. A continuación, $f^{-1}(x)\not= \emptyset$, porque si lo era, el abierto de conjuntos disjuntos $$ A=f^{-1}[0,x)\,\,\,\text{y}\,\,\,B=f^{-1}(x,1] $$ daría $X=A\cup B$, y dado que ambos son no vacías, esto se contradice con la conexión. Por lo tanto, $f$ es surjective, sino $X$ es contable. Esta contradicción muestra $X$ debe ser de un solo punto.

Answer 2

1. Compacto de Hausdorff es normal
2. Conectado Normal Hausdorff espacio con más de dos puntos es incontable.

Así, Hausdorff, contables, compacto, y conectado el espacio es Singleton espacio.

El primer punto es fácil de probar. Segundo punto puede ser visto usando este enlace .

Answer 3

Como las otras respuestas muestran, la afirmación es verdadera, y que los supuestos pueden ser debilitadas desde compacto de Hausdorff de Tychonoff o incluso funcionalmente Hausdorff. En realidad, también es cierto que cada contables conectado espacio es degenerado. Por otro lado, hay degenerada de Hausdorff contables espacios conectados. Para más detalles y más referencias, véase el siguiente artículo (publicado en la Topología de los Procedimientos de 47 (2016)).