En la entrada del blog La fórmula de Euler-Maclaurin, los números de Bernoulli, la función zeta y la continuación analítica de las variables reales Terry Tao examina las fórmulas "absurdas" comúnmente utilizadas $$ \begin {align} \sum_ {n \geq 1} 1 &= -1/2 \tag {1} \\ \sum_ {n \geq 1} n &= -1/12 \tag {2}, \end {align}$$ donde, por supuesto, no pretendo que se tomen al pie de la letra. Estos son los valores correctos si interpretamos las sumas de la izquierda como $ \zeta (0)$ y $ \zeta (-1)$ extendida a través de la continuación analítica. Pero uno de los grandes puntos de la entrada del blog de Terry Tao es mostrar que uno puede acercarse $(1)$ y $(2)$ de un método completamente real-variable que implica sumas suavizadas.
Deje que $ \eta : \mathbb {R}^+ \longrightarrow \mathbb {R}$ ser una función de corte lisa, compacta y limitada, que es $1$ en un barrio de $0$ . Correspondiente a $(1)$ y $(2)$ son $$ \begin {align} \sum_ {n \geq 1} 1 \cdot \eta (n/N) &= - \frac {1}{2} + C_{ \eta , 0} N + O \big ( \frac {1}{N} \big ) \tag {3} \\ \sum_ {n \geq 1} n \cdot \eta (n/N) &= - \frac {1}{12} + C_{ \eta , 1} N^2 + O \big ( \frac {1}{N} \big ), \tag {4} \end {align}$$ donde $$ \zeta_ { \eta , j} = \int_0 ^ \infty x^j \eta (x) dx.$$
En la entrada del blog, el Ejercicio 2 se refiere a la resolución de una "aparente inconsistencia" en $(1)$ y $(2)$ . Añadiendo $(1)$ y $(2)$ (formalmente) muestra que $ \sum_ {n \geq 1} (1+n) = -7/12$ . Restando el número entero $1$ de $(2)$ muestra (formalmente) que $ \sum_ {n \geq 2} n = \sum_ {n \geq 1} (1+n) = -13/12$ . Trabajando con las sumas suavizadas, añadiendo $(3)$ y $(4)$ muestra que $$ \sum_ {n \geq 1} (1+n) \eta (n/N) = - \frac {7}{12} + C_{ \eta , 1} N^2 + C_{ \eta , 0}N + O \big ( \frac {1}{N} \big ). \tag {5}$$ Restando $1$ (o más bien $ \eta (1/N)$ que es $1 + O(1/N)$ de una expansión de Taylor) de $(4)$ muestra que $$ \sum_ {n \geq 2} n \eta (n/N) = \sum_ {n \geq 1} (1+n) \eta\big ( \frac {n+1}{N} \big ) = - \frac {13}{12} + C_{ \eta , 1} N^2 + O \big ( \frac {1}{N} \big ). \tag {6}$$ Vemos que la diferencia entre $(5)$ y $(6)$ está completamente en la función de suavizar $ \eta (n/N)$ vs $ \eta ( \frac {n+1}{N} )$ y esto no es evidente en la manipulación "formal" que conduce a la aparente inconsistencia.
Mi pregunta
En su puesto, Terry Tao pone como ejercicio 2 que uno puede usar $(3)$ y la expansión de Taylor para $ \eta ( \frac {n+1}{N})$ para derivar $(6)$ de $(5)$ . (Así pues, no sólo son consistentes sino esencialmente equivalentes). Pero no veo cómo hacer esto.
Pensamientos iniciales hacia una solución
Hay dos formas que parecen naturales de expandirse $ \eta $ en una serie de Taylor. Podríamos usar una expansión centrada en $0$ que conduce a expresiones de la forma $$ \eta\left ( \frac {n+1}{N} \right ) = 1 + \eta '(0) \left ( \frac {n+1}{N} \right ) + \frac { \eta ''(c)}{2} \left ( \frac {n+1}{N} \right )^2, \qquad c \in (0, \tfrac {n+1}{N})$$ o tal vez varias expansiones centradas en $n/N$ que conduce a expresiones de la forma $$ \eta \left ( \frac {n+1}{N} \right ) = \eta \left ( \frac {n}{N} \right ) + \eta ' \left ( \frac {n}{N} \right ) \frac {1}{N} + \eta ''(c) \frac {1}{N^2}, \qquad c \in ( \tfrac {n}{N}, \tfrac {n+1}{N}).$$ Las expansiones centradas en $n/N$ tienen muchas ventajas. En el anterior Ejercicio 1 en la entrada del blog, usando las expansiones de Taylor centradas en $n/N$ llevó a una solución fácil, así que sospecho que esta es la forma de proceder. Además, como $ \eta $ se apoya de forma compacta, tenemos $ \eta ''(c) = 0$ para los grandes $c$ .
Pero usando esta expansión de Taylor en la serie en $(6)$ encontramos $$ \sum_ {n \geq 1} (1+n) \eta \left ( \frac {n+1}{N} \right ) = \sum_ {n \geq 1} (1+n) \Big [ \eta \left ( \frac {n}{N} \right ) + \eta ' \left ( \frac {n}{N} \right ) \frac {1}{N} + \eta ''(c_n) \frac {1}{N^2} \Big ].$$ Los primeros términos $$ \sum_ {n \geq 1} (1+n) \eta \left ( \frac {n}{N} \right )$$ se entienden desde $(3)$ y $(4)$ arriba. El término de error sumandos son cada uno $O(1/N)$ que lleva a un término de error de tamaño $O(1)$ . (Esto indica que uno debería usar probablemente un término más en la expansión de Taylor, pero eso no es lo que encuentro como obstáculo). El término secundario es lo que encuentro confuso. Queremos entender $$ \sum_ {n \geq 1} \frac {(1+n)}{N} \eta ' \left ( \frac {n}{N} \right ),$$ pero ¿cómo vamos a hacer esto? Sospecho que no hay mucho más en esta línea de pensamiento, o que es necesaria una línea de pensamiento diferente.
