¿Es un grupo para todas las topologías?

Question

Dejemos que $\mathcal{T}$ sea una topología en $X$ y que $S$ sea el conjunto de todos los autohomogeneismos en $X$ . Sea $\sim$ sea una relación de equivalencia definida en S como sigue:

$a\sim b$ si existe $f:[0,1]\to S$ tal que:
$f(0) = a, f(1) = b(f(r))(x)$ es una función continua de $r$ de $[0,1]$ a $X$ para cada $x\in X.$

Lo que debería significar es que dos auto-homorfismos son equivalentes si se puede deformar continuamente uno en el otro. Por ejemplo:

• Todas las biyecciones continuas estrictamente crecientes de R a R son equivalentes
• Todas las biyecciones continuas estrictamente decrecientes de R a R son equivalentes
• Ninguna biyección continua estrictamente creciente es equivalente a ninguna biyección estrictamente decreciente.

Sea P el conjunto de todas las clases de equivalencia sobre S resultantes de la relación de equivalencia $~$ . Sea una operación binaria $*$ se definirá de la siguiente manera:
$[a]*[b] = [a \circ b]$ para $a,b \in S$ .

Dejemos que $G$ sea el grupo en $P$ con operación binaria $*$ .

En primer lugar, me gustaría saber si $*$ está bien definida para todas las topologías $\mathcal T$ . Si es así, entonces $G$ es un grupo para todas las topologías $\mathcal T$ . (Si pudiera aportar una prueba de que $*$ está bien definida o dirigirme a una que también sería genial)

En segundo lugar, si $*$ está bien definido, ¿existe un nombre para este grupo resultante de una topología determinada?

En tercer lugar, si $*$ está bien definido, entonces me gustaría saber lo siguiente:
¿Existe una topología conectada homogénea $\mathcal T$ que da lugar a un grupo distinto de $\mathbb Z_2$ o $\mathbb Z_1$ ?

En caso afirmativo, indique un ejemplo concreto.

La esencia de esta cuestión es que cualquier espacio euclidiano puede "volverse del revés" en cierto sentido. Por ejemplo, $\mathbb R$ con la métrica euclidiana se puede estirar de varias maneras, pero nunca se deforma de forma continua de manera que se haya "volteado". Me gustaría generalizar esta idea a todas las topologías y capturar este comportamiento como un grupo. O por supuesto si hay un nombre para este tipo de cosas me gustaría saberlo. También la razón por la que pido específicamente un grupo que no sea $\mathbb Z_2$ o $\mathbb Z_1$ para una topología homogénea es porque si no se requiere homogeneidad se pueden construir fácilmente ejemplos. Por ejemplo la siguiente topología resulta en el grupo simétrico en 4 elementos:

$X$ es un subconjunto de $\mathbb R^2$ tal que $X = \{(0,a):a \in \mathbb R\} \cup \{(a,0):a \in \mathbb R\}$ y $\mathcal T$ es la topología inducida por la métrica euclidiana en $X$ .

Muchas gracias a todos, creo que el grupo de clase de cartografía es lo que estoy buscando.

Answer 1

Descargo de responsabilidad: no soy un experto, pero esta es la historia tal y como yo la entiendo.

Estás definiendo el grupo de clases de mapeo, pero para que esto funcione realmente quieres poner una topología en $S$ (la topología compacta-abierta) y requieren los mapas $f: [0,1] \to S$ sea continua con respecto a esta topología.

Para ver por qué se necesita esto, observe que el grupo de clases de mapeo suele definirse tomando el grupo de homeomorfismos $Aut(X)$ con la topología compacta-abierta, luego se modela por la relación de equivalencia dada por la homotopía: es decir, una función continua $f: [0,1] \times X \to X$ que conecta dos homeomorfismos. Hay una dualidad a nivel de conjuntos entre funciones continuas $f: [0,1] \times X \to X$ tal que $f(t)$ es una incrustación para cada $t$ y ciertas funciones $f': [0,1] \to S$ pero cuando se impone la continuidad en $f$ , se necesitan algunas condiciones en $f'$ para obtener una biyección. En este caso, no sólo se necesita que $ev_x \circ f'$ es continua para todo $x \in X$ pero necesitas algo un poco más fuerte, que es que $f'$ es continua con respecto a la topología compacta-abierta.

A continuación, puede encontrar más información sobre la asignación de grupos de clase en, por ejemplo, Wikipedia. Como se indica en los comentarios, los grupos de clases de mapeo de tori no son necesariamente $Z_1$ o $Z_2$ .

Observe que si toma su definición de la relación de equivalencia, entonces realmente está tomando mapas continuos $f: [0,1] \to S$ con la topología en $S$ definida como la topología más gruesa (más pequeña) que hace que los mapas $ev_x: S \to X$ continua para todos $x \in X$ , donde $ev_x(f) = f(x)$ . Pero esto es demasiado grueso: la topología compacta-abierta te da más aperturas.

Answer 2

Pido disculpas de antemano si no he leído su pregunta con suficiente atención. Era un poco larga :)

1. ¿Intentaste escribir una prueba para esto? Si tienes una deformación de $a$ a $a'$ que es $\lambda: X\times I \to X$ entonces puedes precomponerlo $\lambda \circ (b\times \text{id}_I)$ para obtener una deformación de $a\circ b$ a $a'\circ b $ ¿verdad? Y de forma similar, si tienes una deformación $b$ a $b'$ entonces puede posponer la composición con $a$ . No quiero pensar demasiado en esto ya que no es mi problema, pero parece que debería funcionar. Si ya has probado esto y has encontrado un punto de fricción ¿cuál era?

2. ¿No es este el grupo de clases de mapeo ? (Si no es así, ¿cuál es la diferencia?)

3. Hay algunos ejemplos de grupos de clases de mapeo en la wikipedia, por ejemplo, el grupo de clases de mapeo de $S^1\times S^1$ est $SL_2(\mathbb Z)$ .

También hay algunos comentarios sobre la orientación en la página de la wikipedia. La "vuelta" por la que preguntas podría ser la orientación-inversión. Si quieres algunas nociones de orientación para espacios más generales que los colectores, hay una versión en Hatcher en la sección de cohomología.