Matemáticas de año nuevo 2018: $\color{green}{\binom ab+\binom bc+\binom cd}+\color{orange}{\binom de+\binom ef+\binom fg+\binom gh}=\color{red}{2018}$

Question

Unas matemáticas para recibir el año nuevo.

Encontrar enteros distintos $a,b,c,d,e,f,g,h$ tal que $$\color{purple}{\binom ab+\binom bc}+\color{blue}{\binom cd}+\color{green}{\binom de+\binom ef}+\color{orange}{\binom fg+\binom gh}=\color{red}{2018}$$ y donde $a>b>c>d>e>f>g>h\ge 0$ y uno de los coeficientes del binomio es $$\color{red}{\binom {20}{18}}$$

Alternativamente, en forma de suma:

Encontrar enteros distintos $x_1, x_2, \cdots, x_8$ tal que $$\color{orange}{\sum_{n=1}^7}\color{orange}{\binom {x_n}{x_{n+1}}}=\color{red}{2018}$$ y donde $x_n>x_{n+1}\ge0$ y, para un valor concreto de $n$ , $$\color{green}{\binom {x_n}{x_{n+1}}}=\color{red}{\binom {20}{18}}$$ ¡Feliz Año Nuevo!

Answer 1

Una solución es $$ {20\choose 18} + {18\choose 15}+{15\choose 12}+{12\choose 8}+{8\choose 5}+{5\choose 4}+{4\choose 4}=2018. $$ Encontré esto usando un algoritmo codicioso: $x_1=20$ , $x_2=18$ y para $n\geq 3$ , $$ x_n=\min\left\{k\geq x_{n-1}/2:\sum_{i=1}^{n-2}{x_i\choose x_{i+1}} + {x_{n-1}\choose k}\leq 2018\right\}. $$

Si preferimos los enteros distintos, podemos sustituir ${4\choose 4}$ con ${4\choose 0}$ .

Answer 2

Una búsqueda por fuerza bruta encuentra las siguientes 12 soluciones de números distintos (en seis pares casi idénticos):

$$ \color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{15}+\binom{15}{12}+\binom{12}{8}+\binom{8}{5}+\binom{5}{4}+\binom{4}{0} \\ \color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{15}+\binom{15}{12}+\binom{12}{8}+\binom{8}{5}+\binom{5}{1}+\binom{1}{0} \\ \binom{23}{22}+\binom{22}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{17}+\binom{17}{15}+\binom{15}{11}+\binom{11}{9} \\ \binom{23}{22}+\binom{22}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{17}+\binom{17}{15}+\binom{15}{11}+\binom{11}{2} \\ \binom{23}{22}+\binom{22}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{16}+\binom{16}{14}+\binom{14}{13}+\binom{13}{8} \\ \binom{23}{22}+\binom{22}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{16}+\binom{16}{14}+\binom{14}{13}+\binom{13}{5} \\ \binom{23}{21}+\binom{21}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{16}+\binom{16}{13}+\binom{13}{9}+\binom{9}{5} \\ \binom{23}{21}+\binom{21}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{16}+\binom{16}{13}+\binom{13}{9}+\binom{9}{4} \\ \binom{25}{23}+\binom{23}{22}+\binom{22}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{15}+\binom{15}{3}+\binom{3}{1} \\ \binom{25}{23}+\binom{23}{22}+\binom{22}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{15}+\binom{15}{3}+\binom{3}{2} \\ \binom{25}{23}+\binom{23}{22}+\binom{22}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{16}+\binom{16}{14}+\binom{14}{4} \\ \binom{25}{23}+\binom{23}{22}+\binom{22}{20}+\color{red}{\binom{20}{18}}+\binom{18}{16}+\binom{16}{14}+\binom{14}{10} $$

Estas son todas las soluciones que contienen $\binom{20}{18}$ suponiendo que los enteros son estrictamente decrecientes. La clave es observar que se trata de un problema finito: si $x_i = 20$ y $x_{i+1} = 18$ entonces $x_{i-1}$ (si existe) puede ser como máximo $23$ , ya que $\binom{24}{20} > 2018$ , $x_{i-2}$ también puede ser como máximo $25$ , $x_{i-3}$ como máximo $27$ y así sucesivamente, por lo que podemos encontrar todas las soluciones si consideramos los coeficientes binomiales $\binom nk$ con $k < n < 40$ más o menos.