$\ell x = 0$ todos los $\ell \in X'$ para espacios de banach

Question

Supongo que esto es probablemente preguntado antes, pero no puedo encontrarlo.

Deje $X$ ser un espacio de Banach, y deje $\ell x = 0$ todos los $\ell \in X'$. A continuación, $x = 0$

Si todas las proyecciones $\pi_\alpha x = 0$ y, por tanto, obtener "todas las coordenadas" igual a cero. Pero es probable que no se sostenga y te leo necesidad de Hahn-banach para demostrarlo.

Answer 1

Creo que usted tiene el derecho a la intuición, es decir, si $x\neq 0$ desea construir algunos funcional $\ell\in X'$ tal que $\ell x\neq 0$. El de Hahn-Banach teorema hace que esta muy fácil de hacer.

Suponga $x\in X$ es distinto de cero. Deje $Y\subseteq X$ $1$- dimensiones subespacio generado por $x$. A continuación, defina un lineal mapa de $L\colon Y\to \mathbb{R}$$L(\lambda x) = \lambda$. Aquí estoy asumiendo que usted está trabajando sobre $\mathbb{R}$, pero sólo reemplace $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ si estás trabajando sobre $\mathbb{C}$. Esta $L$ es una funcional lineal continua en $Y$, e $L(x) = 1$. El de Hahn-Banach teorema nos dice que $L$ se extiende a un continuo lineal de la función $\ell\colon X\to \mathbb{R}$. Esto le da un $\ell\in X'$ tal que $\ell(x) = 1$.

Answer 2

De Hahn-Banach teorema dice que si $X$ es cualquier normativa espacio que existe $l\in X'$ tal que $lx= \|x\|$ $|lx|\leq \|x\|$ todos los $x\in X$.[Rudin Corolario en la página 59].

Ahora si $x\neq 0$, entonces no podemos tener $l(x)=0$ todos los $l\in X'$.

Answer 3

Una interesante adición. Para el general de Banach espacio, el de Hahn-Banach teorema, o algún otro consequene del Axioma de Elección, es necesario que lo demuestre. En la llanura de ZF, la teoría de conjuntos que no puede ser probado. Un buen ejemplo:

$X = l^\infty/c_0$, bastante concreto espacio de Banach. Ciertamente, $X$ tiene cero elementos (por ejemplo, la clase de equivalencia de a $(1,1,1,\dots)$). Pero (sólo en ZF) uno no puede demostrar que $X$ tiene cualquier valor distinto de cero lineal funcionales.

Answer 4

Dado $x\in X$ usted saber que existen $f\in X'$ (uso Hahn Teorema de Banach) tal que $$f(x)=\|x\|^2$$

Se puede concluir?