Álgebra lineal revisited: ¿Qué hacemos cuando hemos establecido un sistema de coordenadas?

Question

Yo estaba aprendiendo acerca de covariante y contravariante de vectores debido a la relatividad especial, y se me ocurrió que no vivimos en $\mathbb{R}^4$. Voy a explicarme mejor. Considerar el espacio de polinomios de grado $\leq n$. Este es un espacio vectorial, y la elección de ${1,x,x^2,...,x^n}$ como base tiene perfecto sentido: los objetos existen independientemente de sus coordenadas. Sin embargo, cuando establecemos un sistema de coordenadas en la mecánica clásica (por ejemplo) tenemos un preesisting espacio (el "mundo físico"), en la que podemos elegir un punto (que va a ser el $0$ de nuestra identificación con $\mathbb{R}^3$) y, a continuación, una base con la que somos capaces de dar las coordenadas de ese punto. Hasta ahí todo bien, excepto que no tengo idea de lo que es el "mundo físico" es, sin recurrir a una $\mathbb{R}^3$ descripción en el primer lugar.

Ahora, pensé pensando en el "mundo físico" en un colector de sentido: usted tiene un espacio topológico $(M, \tau)$ y la construcción de un atlas con un gráfico. En ese sentido, podemos hablar de coordenadas y cuando se elige un punto de referencia estamos equipando el espacio topológico de un colector de estructura para hablar de forma inequívoca de los puntos.

Mi pregunta es: ¿qué es ese espacio topológico? ¿Cuál es el espacio que yo soy el equipamiento con un colector de estructura?

Answer 1

Así que, mi respuesta a la pregunta ya que he encontrado la respuesta que yo estaba buscando, y podría ser útil para alguien más pronto o más tarde. Voy a tratar el caso de la relatividad especial. Axiomáticamente, suponemos que $M^4$ es un espacio afín, que es una tríada $(A^n, V, \vec \cdot)$ donde $A^n$ es un conjunto cuyos elementos son llamados puntos, $V$ $n$- dimensional espacio vectorial y $\vec \cdot$ es una operación con las siguientes propiedades:

• $\forall P\in A^n, v \in V \exists! Q\in A^n: \vec{PQ}=v$
• $\vec{PQ}+\vec{QR}=\vec{PR} \space \forall P,Q,R \in A^n$

Ahora, una vez que el origen de la $O$ se fija claramente, hay un bijection $f:V \rightarrow \mathbb{R}^n$. La topología euclidiana, naturalmente, induce una topología en $A^n$, es decir, el abrir los conjuntos son la counterimages de los bloques abiertos de $\mathbb{R}^n$. Vamos a llamar a la función $f$ "sistema de coordenadas" de origen $O$ y los ejes de $e_1,...,e_n$. Por otra parte, podemos equipar, el uso de esta función, $A^n$ de una estructura topológica y diferenciable $C^\infty$ colector. Queremos más de la estructura, sin embargo, y puesto que tenemos un simmetrical forma bilineal en $V$ ($\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$) nos gustaría para el transporte a $A^n$. Ya que es una variedad diferenciable, no tenemos ningún problema en tomar la tangente espacios de $T_pA^n$(que son esencialmente $\mathbb{R}^n$) y la construcción de un isomorfismo $L_p: T_pA^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ que envía a la base canónica del espacio de la tangente en la base canónica de $\mathbb{R}^n$. A continuación, definimos, $\forall u, v \in T_pA^n$:

$$g_p(u,v)=g(L_pu,L_pv)$$

Y eso es lo que yo tengo. Por favor me corrija si algo apagado.