El artículo de la wikipedia en antiderivatives estados:
No continuas funciones pueden tener antiderivatives. [...]
- En algunos casos, la antiderivatives de tales funciones patológicas pueden ser encontrados por Riemann de integración, mientras que en otros casos estos las funciones no son Riemann integrables.
Estoy buscando un ejemplo de una función acotada función de $f : [a, b] \to [m, M]$ que tiene una antiderivada $F$ tal que $F' = f$ en su dominio, mientras que $f$ no es Riemann-integrable.
Edit: Ahora que su función es limitada, por Lebesgue del criterio de integrabilidad de Riemann, su función no debe ser continua.e. Ahora este enlace le ofrece toda la gama de funciones diferenciables que tienen los derivados que son discontinuas en los conjuntos de diferentes medidas y tamaños. http://math.stackexchange.com/a/423279/231021
Desea el uno en la última parte de "Aumento de la medida". Que le garantizará que su función es discontinua en un conjunto de medida de Lebesgue mayor que $0$. Ahora usted tiene que asegurarse de que es limitado y el ejemplo de los comentarios es uno de esos.
Aquí hay otro enlace, donde hablan de la construcción de tales funciones con delimitada derivados en todas partes en$[0,1]$, pero con tal de que los derivados son discontinua en un conjunto de medida positiva. (ver 5.5.5.d):
Old post antes de que el delimitada restricción: Probar sin límites de funciones. Ellos no tienen las integrales de Riemann, sin embargo, algunos son continuas en un intervalo abierto. ¿Qué acerca de la $x\mapsto \frac{1}{x}: (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$?
$\int_0^1 \frac{1}{x} dx$ no existe (Riemann integrable funciones son, por definición, limitada, y esta función no está, en $(0,1)$) pero tiene una antiderivada $\ln(x)$ todas partes en $(0,1)$.
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