Funciones de espacio de espacio discreto: ¿cómo tomar cocientes de llevar a noncommutativity?

Question

Se ha señalado en la Geometría de la espectral punto de vista lo siguiente: Si se considera un espacio discreto, es decir, la de dos puntos del espacio $\{1,2\}$, después de la identificación de los puntos de $X=\{1,2\}/\sim$, el álgebra de funciones $A=C(\{1,2\}/\sim,\mathbb{C})$ es el álgebra de matrices $M_2(\mathbb{C})$ con la costumbre de la matriz producto. Según el autor, la noncommutativity de esta álgebra es un resultado de la relación entre los "puntos".

(Si uno se toma el cociente uno ha $X=\{*\}$, cuya álgebra es $\mathbb{C}$. Todavía no tengo ningún problema con esta aparente ambigüedad, es decir, $M_2(\mathbb{C})$ es Morita equivalente a $\mathbb{C}$, por lo que tendrá el mismo "no conmutativa de la topología", por así decirlo). Sin embargo, respecto de Connes declaración,

Pregunta: ¿de dónde viene la costumbre de la matriz producto proviene de?

Answer 1

Se trata de la composición de isomorphisms. Una versión de la "álgebra de funciones" en la, digamos, de un número finito de groupoid $G$ es su groupoid álgebra $\mathbb{C}[G]$, que es un directo de la generalización del grupo de álgebra: tomar el vector libre del espacio en los morfismos en $G$ con la multiplicación dada por la composición (o $0$ si no hay ninguna composición). Si $G$ es una relación de equivalencia, a continuación, $\mathbb{C}[G]$ es finito, producto directo de la matriz de álgebras.