La integración de $f(x)=x$$x \in C$, el conjunto de Cantor, con respecto a una determinada medida

Question

General de la teoría de la medida, creo que es posible crear una medida de espacio $(C, \mathcal{M_\phi}, m_\phi)$ donde $C$ es el tercio medio conjunto de Cantor. Ahora la medida $m_\phi$ se define como $m(\phi^{-1}(E))$ que $\phi$ es el bijection de infinitas secuencias binarias (en la unidad cerrada intervalo?) a $C$, $m$ es lo habitual en la medida de Lebesgue, y $E \subseteq C$. También, $\mathcal{M_\phi}$ $\sigma$- álgebra de la siguiente manera: $\{E \subset C: \phi^{-1}(E) \in \mathcal{M}\}$ donde $\mathcal{M}$ $\sigma$- álgebra de Lebesgue medibles conjuntos.

Mi pregunta es ¿cómo podría usted calcular una integral de la forma siguiente: $\int_C x\;dm_\phi$? Ya sé que $m_\phi(C)=1$, pero ¿cómo se podría ir sobre la computación de la integral? Sería la aproximación por funciones simples de trabajo, y si es así, qué tipo de funciones debo trabajar? Cómo sería esto de generalizar para $\int_C x^n\;dm_\phi$? Cualquier entrada sería muy apreciada!

Answer 1

Definitivamente el probabilístico manera! A saber:

La medida de $m_\phi$ es la distribución de la variable aleatoria $X=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}3^{-n}\xi_n$ donde $(\xi_n)$ es yo.yo.d. y $\xi_n=0$ o $2$, con igual probabilidad. Así, el hecho de que $E(\xi_n)=1$ implica que $$ \int x\text{d}m_\phi(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}3^{-n}E(\xi_n)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}3^{-n}=\frac12. $$ La misma fórmula sin serie infinita: una definición de propiedad de la distribución de $X$ es la relación $$ 3X=\xi+X', $$ donde $\xi=0$ o $2$, con igual probabilidad, $X'$ es distribuido como $X$, e $\xi$ $X'$ son independientes. En particular, $3E(X)=E(\xi)+E(X)$ y listo.

Momentos de orden superior pueden ser abordados de manera similar. Para cada $n\ge1$, $$ 3^nE(X^n)=E((\xi+X')^n)=\sum\limits_{k=0}^n{n\elegir k}E(\xi^k)E(X^{n-k}). $$ Además, $E(\xi^k)=2^{k-1}$ por lo tanto $$ (3^n-1)E(X^n)=\sum\limits_{k=1}^{n}{n\elegir k}2^{k-1}E(X^{n-k}), $$ que los rendimientos de los momentos de $X$ de forma recursiva.

O, se puede centrar todo en el inicio, el uso de $$ 3\bar X=\bar \xi+\bar X', $$ con $\bar X=X-E(X)=X-\frac12$$\bar\xi=\xi-E(\xi)=\xi-1$. Algunos cálculos llegar a ser bastante simple, debido a que $\bar\xi$ es simétrica, por tanto $\bar X$ es simétrica así y todos sus momentos impares son cero. Además, $\bar\xi=\pm1$ casi seguramente por lo tanto $E(\bar\xi^{2k})=1$$E(\bar\xi^{2k+1})=0$. Por ejemplo, la recursividad para los momentos de $X$ rendimientos como la recursividad para los momentos de $\bar X$ de las ecuaciones $$ (3^n-1)E(\bar X^n)=\sum\limits_{k\ge1}{n\elegir 2k}E(\bar X^{n-2k})\,[2k\le n]. $$ Para los primeros, incluso los valores de $n$, se obtiene que $(3^2-1)E(\bar X^2)=1$, $(3^4-1)E(\bar X^4)=6E(\bar X^2)+1$ y $(3^6-1)E(\bar X^6)=15E(\bar X^4)+15E(\bar X^2)+1$, por lo tanto $$ E(\bar X^2)=1/8,\quad E(\bar X^4)=7/320,\quad E(\bar X^6)=205/46592. $$

Answer 2

Si he entendido correctamente, la medida del tercio inferior de la es $1/2$ y la del tercio superior es $1/2$, y la de la tercera parte inferior del tercio inferior es la mitad del de la baja de la tercera, y así sucesivamente.

Que es una medida de probabilidad, y la integral es el valor esperado---sólo un valor promedio. Por simetría, el promedio es $1/2$. Creo que no sería difícil hacer la simetría argumento lógicamente precisa (por ejemplo, tal vez comenzando con $u = 1-x$, etc.).

Consulte esta sección en momentos de el Cantor de distribución: http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_distribution#Moments

Para generalizar a momentos de orden superior, creo que esto podría ser relevante: http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_cumulance Esta aparecido en:

David Brillinger, "El cálculo de cumulants a través acondicionado", Anales del Instituto de Estadística Matemática, Vol. 21 (1969), pp 215-218.

Es una generalización natural de la ley de la total expectativa y la ley de la varianza total.

Este artículo puede ser esclarecedor si no ya saben estas cosas: http://en.wikipedia.org/wiki/Cumulant

Es más fácil trabajar con cumulants y , a continuación, encontrar momentos de vice-versa, por razones que el artículo puede hacer claro.

Nota posterior: Vamos a ser un poco más "probabilístico" en la forma en que la sustitución se sugirió anteriormente se ve. El uso de capital $X$ para la variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es la medida que aquí se propone. Deje $U=1-X$. A continuación,$E(U) = 1 - E(X)$, pero desde $X$ $U$ ambos tienen la misma distribución, también tenemos $E(U) = E(X)$.

Answer 3

Llegar más concreto: Es demostrado en uno de los citados artículos de Wikipedia que la varianza del Cantor de distribución es $1/8$. Recordemos que el valor esperado del cuadrado es la suma de dos términos: el cuadrado del valor esperado y la varianza. La plaza de el valor esperado es $(1/2)^2 = 1/4$. La varianza es $1/8$. Por lo tanto $$\int_C x^2\;dm_\phi = 1/4 + 1/8 = 3/8.$$

Por simetría, el tercer momento central es 0, por lo que tenemos $$ \begin{align} 0 & = \int_C \left(x - \frac12\right)^3\;dm_\phi = \int_C x^3 - \frac32 x^2 + \frac34x - \frac18 \;dm_\phi \\ & = \int_C x^3\;dm_\phi -\frac32\cdot\frac38 + \frac34\cdot\frac12 - \frac18 = \int_C x^3\;dm_\phi -\frac{5}{16}. \end{align} $$

Para aplicar la ley de total cumulance para encontrar la 4ª momento $\int_C x^4\;dm_\phi$ podría ser un trabajo mucho más que eso. Uno tendría que lista todos los 15 de particiones de un conjunto de cuatro miembros, y eso es apenas el primer paso.

Answer 4

Y por último, me parece un artículo publicado sobre esta cuestión:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0167715292900398