Graficar la ecuación polar $r = 6 cos(\theta)$, problemas al trazarla en el plano xy

Question

Estaré agradecido por tu ayuda y explicación sobre cómo descifrar lo que hicieron los autores del libro de Precálculo al trazar la ecuación del plano $r,\theta$ en el plano xy. A continuación cito 3 partes de sus explicaciones y adjunto capturas de pantalla de los gráficos

Ejemplo de cómo gráficar la ecuación polar $$r = 6\cos()$$

Cita parte 1:

Graficamos un ciclo de $r = 6\cos()$ en el plano polar y lo usamos para ayudar a graficar la ecuación en el plano xy. Vemos que a medida que $$ varía de $0$ a $/2$ , $r$ varía de $6$ a $0$. En el plano xy, esto significa que la curva comienza a 6 unidades del origen en el eje x positivo ( = 0) y gradualmente regresa al origen cuando la curva alcanza el eje y ( = /2 ). Las flechas dibujadas en la figura a continuación están destinadas a ayudarte a visualizar este proceso. En el plano r, las flechas se dibujan desde el eje - hasta la curva r = 6\cos(). En el plano xy, cada una de estas flechas parte del origen y gira a través del ángulo correspondiente , de acuerdo a cómo trazamos coordenadas polares. Fin de la cita parte 1.

Imagen adjunta.

Cita parte 2:

Luego, repetimos el proceso mientras varía de /2 a . Aquí, los valores de r son todos negativos. Esto significa que en el plano xy, en lugar de graficar en el Cuadrante II, graficamos en el Cuadrante IV, con todas las rotaciones de ángulo partiendo del eje x negativo. Fin de la cita parte 2.

Entonces, si = 3/4, entonces r = -32 = , entonces r = -6

En la primera parte comenzamos en el ángulo = 0 y por lo tanto r = 6, que lo trazamos como x = 6; luego girando en sentido contrario a las agujas del reloj a medida que todos los valores de r disminuyen a medida que se acerca a /2. Esto me parece claro.

Y ahora estoy confundido por la segunda parte. Se dice que los valores de r son negativos, así que no entiendo por qué trazamos estos valores a lo largo del eje x positivo y rotamos en sentido horario. ¿Cómo llegaron a esta rotación, cuál es la razón por la que no logro entenderla? La frase en la imagen que dice "r < 0 así que trazamos aquí" da la impresión de que es obvio, pero no para mí. Por favor, ayúdame a entenderlo.

Parece que están trazando los valores absolutos de r a lo largo del eje x, por lo que todos los valores de x son positivos. Pero, ¿cómo se justifica esto matemáticamente?

Aquí también está la siguiente cita, aún más confusa: A medida que varía de a 3/2, los valores de r siguen siendo negativos, lo que significa que el gráfico se traza en el Cuadrante I en lugar del Cuadrante III. Fin de la cita.

Interesante. La segunda parte indicó que al ser los valores de r negativos, tenemos que trazar en QIV; y la tercera cita dice que al seguir siendo los valores negativos, obviamente tenemos que trazar en QI. Estoy completamente confundido. :) Por favor, ayúdame.

Resumiendo un poco:

(1) cuando el intervalo es [0, /2] y r = 6, comienzan en y = x = 6 y van todo el camino "hacia arriba" (en sentido contrario a las agujas del reloj) hasta que el ángulo alcanza /2; es claro; (2) cuando el intervalo es [/2 , ] y el valor de r = -6 en el ángulo , es muy probable que comiencen en el ángulo -/2, se muevan en sentido contrario a las agujas del reloj "hacia arriba" hasta llegar a 2, y sorprendentemente terminen en y = x = 6, no en x = -6; (3) y luego, cuando sucede algo aún más desconcertante - aunque los valores siguen siendo negativos y el intervalo es [, 3/2], regresan al intervalo [0, /2] en QI; (4) y para el último intervalo de [3/2, 2], regresan a QIV. Sinceramente no lo entiendo. Parece que hay algo muy fácil en todo esto, alguna noción muy básica que se me escapa.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Cuando $\theta$ es tal que $r=6\cos(\theta)$ es positivo, como sabes, nos dirigimos al rayo de ángulo $\theta$ en sentido antihorario desde el eje $x$ positivo, y marcamos un punto a una distancia $r$ del origen en este rayo. Esto se mueve en la dirección "positiva" a lo largo de ese rayo.

Cuando $\theta$ es tal que $r=6\cos(\theta)$ es negativo, nuevamente encontramos el rayo de ángulo $\theta$ en sentido antihorario desde el eje $x$ positivo, pero queremos marcar un punto a una distancia $|r|$ del origen en la dirección negativa en ese rayo. Esto significa que en lugar de movernos en la dirección a la que apunta el rayo, nos movemos en la dirección opuesta (es decir, en la dirección positiva en el rayo de ángulo $\theta + \pi$). Por eso, en la segunda imagen, en lugar de obtener puntos en el segundo cuadrante, terminan en el cuarto cuadrante.

Answer 2

Su problema parece ser trazar puntos donde $r < 0$. Si he entendido correctamente su pregunta, dos partes de los pasos para graficar $r = 6\cos(\theta)$ son confusas:

1. Cuando $\theta \in [\pi/2, \pi]$ (así que Q2), tenemos $r<0$. En lugar de trazar en el Q2, trazamos en el Q4.
2. Cuando $\theta \in [\pi, 3\pi/2]$ (así que Q3), tenemos $r<0$. En lugar de trazar en el Q3, trazamos en el Q1.

El principio general detrás de estos dos hechos es el siguiente: Cuando $r<0$, el punto se invierte 180 grados alrededor del origen. En otras palabras, estamos interpretando longitudes negativas (radios) como longitudes con dirección inversa.

Esto tiene sentido porque hacemos lo mismo con números positivos y negativos. Considera la recta numérica. $1, 2, 3, \cdots$ todos están a la derecha de $0$. Para dar sentido a $-1, -2, -3, \cdots$ geométricamente, invertimos su dirección desde $0$ en $180$ grados. Así que se escriben a la izquierda de $0.

Por ejemplo, $(r,\theta) = (2, \pi/3)$ está ubicado en $(1, \sqrt{3})$ en coordenadas rectangulares. Y $(r, \theta) = (-2, \pi/3)$ está ubicado en $(-1, -\sqrt{3})$ en coordenadas rectangulares. ¡Dibújalo! Y nota que $(2, \pi/3)$ está en el Q1 y $(-2, \pi/3)$ está ubicado en el Q3...

Answer 3

Están pensando demasiado en este problema porque el círculo completo se puede trazar para $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ sin valores negativos de $r$.