Yo estaba haciendo un poco de preparación para el examen, y he encontrado este interesante ejercicio (el texto está en italiano).
Consideremos el sistema plano \begin{cases} \dot{x} &= P(x,y) \\ \dot{y} &=Q(x,y) \end{casos} donde $P,Q \in C^1(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$. Suponga que cada círculo centrado en el origen con el entero radio es invariante.
Vamos a denotar con $\Lambda^+(x,y)$ el límite establecido de el punto de $(x,y)$. Tengo que responder a las siguientes preguntas:
1) Demostrar que $\Lambda^+(x,y) \neq \emptyset$ por cada $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.
es trivialmente cierto. Si el punto de $(x,y)$ se encuentra en el círculo, es de toda la órbita es en ella, y por la compacidad cada una de las secuencias de ($t_n \to \infty$) de los puntos de la órbita admite convergente larga. Un argumento similar funciona para los anillos entre los círculos. Estoy seguro de que con esta respuesta
2) Determinar para que el conjunto de $\Lambda^+(x,y)$ puede ser calculada de forma explícita.
Si el punto es el origen, el circumferencewith radio de $0$ es invariante, por lo que el punto es fija, por lo $\Lambda^+(0,0)=(0,0)$. No puedo decir nada de los otros puntos, porque los otros ciclos puede ser conectado a un conjunto compuesto de un número finito de puntos fijos junto con homoclinic y heteroclinic órbitas de conectar los puntos. Según yo, no puedo decir otra cosa
3) Dar condiciones suficientes s.t. el sistema no tiene límite de ciclos.
Si el sistema es Hamiltoniano, entonces no puede haber ningún límite de ciclos. Si el sistema es un sistema de gradiente, que no puede tener cualquier órbita periódica,en particular, de cualquier ciclo límite. si el sistema satisface la hipótesis de la Bendixson-Dulac teorema entonces no puede haber ninguna solución periódica. Yo no conozco a ninguna otra condición
y luego he añadido (como un reto:) ) esta pregunta
4) el Estudio de las propiedades de las órbitas de los anillos. Está permitido el anuncio de algunas hipótesis sobre el sistema.
Si los únicos puntos críticos radica en los ciclos, y el sistema es Hamiltoniano, a través de Poincaré-Bendixson thm puedo concluir que cada punto pertenece a una solución periódica. No sé cómo lidiar con el caso de que en punto fijo podrían existir en los anillos
Así que mis preguntas son:
Son mis pensamientos derecho?
Es allí una manera de lidiar con punto fijo en el interior de los anillos? (Dudo que puede haber puntos fijos, porque de Continuar la dependencia de valor inicial. (Yo no puedo formalizar muy bien este hecho)
Un par de palabras acerca de esta última cuestión: si tenemos en cuenta el sistema (no de hamilton) en coordenadas polares \begin{cases} \dot{r} &= r \sin(r) \\ \dot{\theta} &= -\cos( r) \end{casos} tiene una fase retrato de este tipo (módulo de un reparametrization tener entero radios)
En el que las órbitas no tienen ciclos dentro de los anillos. Así que si me relajar la hipótesis de ser de Hamilton, no es cierto que me han ciclos dentro de los anillos. De todos modos no puedo encontrar un ejemplo con punto fijo en el interior.
NB Destacó textos son mis respuestas a la pregunta.
