Funciones continuas son integrables, ¿por qué la prueba larga?

Question

Yo estaba tratando de probar que una función continua $f:[a,b]\to\Bbb{R}$ es integrable y el pensamiento que se me ocurrió una solución fácil así que busqué por internet y aquí hay una larga prueba: https://proofwiki.org/wiki/Continuous_Function_is_Riemann_Integrable. Esto me hace pensar que algo está mal con mi argumento:

Sabemos que $f$ alcanza su máximo y mínimo en $[a,b]$, llamarlos $A$ $B$ resp. Suponga que $f$ no es constante, por lo que el $A\not=B$ (al $f$ es constante, es trivial demostrar que $f$ es integrable). Deje $\epsilon>0$. Basta con encontrar una partición tal que $U(P)-L(P)<\epsilon$. Esto es cierto para una partición con malla $<\epsilon/(A-B)$. ¿No es así?

Answer 1

Considerar $f_c\colon[0,2\pi]\to\mathbb R$, $x\mapsto \sin cx$ donde $c$ es algo constante. Para todos los $c\ge 1$m usted encontrará $A=1$ y $B=-1$, por lo que la prueba sugiere que $U(P)-L(P)<\epsilon$ tan pronto como la malla es $\delta<\frac{\epsilon}{A-B}$ - no importa qué $c$. Pero conveniente $c$ (es decir, $c>\frac{2\pi}\delta$), se dará cuenta que asume que los valores de $f$ $A$ y $B$ también en cada intervalo de longitud $\delta$, por lo tanto dicha partición tendrá $U(P)-L(P)\ge 4\pi$.

Answer 2

Utilice el hecho de que una función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua encontrar $\delta$ que $$|x-y| \leq \delta \rightarrow |f(x)-f(y)| \leq \frac{\epsilon}{b-a}$$ then $\delta$ es el tamaño de la malla.