Condiciones suficientes / necesarias para $f \circ g$ ser inyectiva, sobreyectiva o biyectiva

Question

Estoy luchando un poco con la suficiente y condiciones necesarias. Tengo que encontrar suficiente y condiciones necesarias para la composición de dos funciones de $f \circ g$ ser inyectiva, surjective o ambos.

Como Definición de $f \circ g$ tengo $g(f(x))$. Podemos decir $A$ es suficiente para $B$ si $A$ implica $B$ $(A \Rightarrow B)$ y decimos $A$ es necesario para la B, si $B$ no puede sostener sin $A$, $B \Rightarrow A$. $A$ es necesario y suficiente si $A \Leftrightarrow B$ mantiene.

Dibujando la imagen con diferentes casos he encontrado el siguiente

• $f$ inyectiva + $g$ inyectiva $\Rightarrow f \circ g$ inyectiva
• $f$ surjective + $g$ surjective $\Rightarrow f \circ g$ surjective
• $f$ bijective + $g$ bijective $\Rightarrow f \circ g$ bijective

Y al revés:

• $f \circ g$ inyectiva $\Rightarrow$ $f$ inyectiva + $g$ puede ser tanto
• $f \circ g$ surjective $\Rightarrow$ $f$ puede ser + $g$ surjective
• $f \circ g$ bijective $\Rightarrow$ $f$ inyectiva + $g$ surjective

Mi solución suficientes y necesarias condiciones:

1. $f \circ g$ inyectiva: f inyectiva + g inyectiva son suficientes, f inyectiva es necesario
2. $f \circ g$ surjective: f surjective + g surjective son suficientes, g surjective es necesario
3. $f \circ g$ bijective: f bijective + g bijective son suficientes, f inyectiva y g surjective son necesarios

Son mis ideas correcto y hay condiciones que son necesarias y suficientes en el mismo nudo de corbata? Yo diría que "no".

Cualquier sugerencias e ideas son muy bienvenidos.

Saludos

Answer 1

Lo que yo sé acerca de su buena pregunta es la siguiente. Supongo que $f:A\to B$$g:B\to C$.

1. Si $g\circ f$ es de 1-1, a continuación, $f$ es de 1-1.

2. Si $g\circ f$ a, a continuación, $g$ es sobre.

así que si $g\circ f$ es bijective, a continuación, $f$ es de 1-1 y $g$ a, pero, a la inversa no es verdadera.

1. $f(x)=f(x')\Longrightarrow g(f(x))=g(f(x'))\Longrightarrow (g\circ f)(x)=(g\circ f)(x')\Longrightarrow x=x'$

2. si $c\in C$ $\exists a (a\in A \wedge (g\circ f)(a)=c)\Longrightarrow\exists a(a\in A \wedge (g\big(f(a)\big)=c)$ si tomamos $b=f(a)\in B$$g(b)=c$.

Ahora tome $A=\{1,2\}, B=\{3,4,5\}, C=\{6,7\}$ y $$f:A\to B\\f(1)=3,f(2)=4$$ $$g:B\to C\\ g(3)=g(4)=6,g(5)=7$$ $f$ is 1-1 and $g$ is onto but $$(g\circ f)(1)=g(3), (g\circ f)(2)=6$$ which means that $g\circ f$ no es un bijective mapa.