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¿Requiere la matemática de la física una teoría de conjuntos impura?

Supongamos, en aras de esta cuestión, que toda la matemática es, en última instancia, reducible a la teoría de conjuntos de tal manera que los únicos objetos matemáticos que hay realmente son, son conjuntos.

Ahora bien, existe una distinción común entre la teoría de conjuntos pura y la impura. La teoría de conjuntos pura se construye a partir del conjunto vacío y sólo incluye conjuntos "puros", es decir, conjuntos que sólo contienen otros conjuntos como miembros. La teoría de conjuntos impuros, por el contrario, implica ureles --- individuos que no son conjuntos y que pueden ser miembros de conjuntos.

Mi pregunta es si la matemática necesaria para la física (suponiendo que todo se cobre en términos de teoría de conjuntos) es de la variedad pura o impura. ¿Existen relaciones primitivas de la física (donde una relación primitiva de la física es algo único de la física - no algo como la igualdad/identidad) que se mantienen entre entidades matemáticas (como los números) y entidades físicas? Si es así, ¿podría dar ejemplos?

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insomnia Puntos 80

La teoría de conjuntos impura puede interpretarse en términos de la teoría de conjuntos pura, por lo que la cuestión es discutible.

Se puede preguntar qué interpretación es "más natural". Pero incrustar la aritmética, el análisis y el cálculo en términos de teoría de conjuntos ya es algo bastante enrevesado y poco natural.

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Terry Bollinger Puntos 11535

No estoy del todo seguro de que esta pregunta pueda responderse en términos de física.

La razón es que todo Las teorías físicas son reducibles a combinaciones de estructuras de datos (por ejemplo, escalares, vectores, matrices, tensores) y comportamientos asociados. Las estructuras de datos y los comportamientos asociados son a su vez (y prácticamente por definición) entidades que pueden representarse dentro de cualquier sistema formal que tenga la suficiente riqueza y complejidad como para construir un Máquina de Turing dentro de ella. Incluso las cuestiones de física de impar como entrelazamiento cuántico puede ser modelado de esta manera, sólo que de manera muy ineficiente.

Así, el problema es que las teorías de conjuntos puros e impuros son ambas lo suficientemente ricas (¡fácilmente!) para construir máquinas de Turing. Cualquiera de las dos podría utilizarse para representar cualquier teoría física formal. Dado que los conjuntos puros son un poco más sencillos, esa sería (supongo) la ganadora entre las dos opciones.

Sin embargo, su verdadera pregunta puede ir más en la línea de preguntar si hay alguna única, atómico , cosas indivisibles o propiedades en la física que encajan mejor con los ureles que con los conjuntos puros. Preguntado así, yo diría que hay bastantes posibilidades de que las haya. La física aún no los ha encontrado, pero la estructura se simplifica a medida que se hace más pequeña. Por ejemplo, nada en la física parece estar por debajo de $1/3$ de una carga de electrones o menos de $1/2$ de una unidad de giro, por lo que algo firmemente "atómico" o "indivisible" puede con esas unidades.

Sin embargo, también me gustaría señalar que esas unidades más pequeñas en física tienden a venir en pares que se aniquilan mutuamente, no como simples adiciones. La idea de los pares que se aniquilan mutuamente no se ve típicamente en la forma de las adiciones positivas en la que se construyen los conjuntos, o al menos no es algo que haya visto en la teoría de conjuntos.

Así que, si quieres ampliar un poco la pregunta y decir "¿qué tipos de sistemas matemáticos parecen captar mejor la estructura natural de la física tal y como la observamos?", yo diría "algo que se basa en la creación y aniquilación, a muchos niveles diferentes, de pares de propiedades o entidades que se aniquilan mutuamente". Sería algo parecido a una versión más discreta del marco que se encuentra en teoría cuántica de campos .

No conozco específicamente ningún sistema formal de ese tipo en matemáticas, al menos no como parte de la búsqueda de bloques de construcción matemática más fundamentales como los conjuntos.

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