¿Puede una función delta de Dirac ser una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria?

Question

¿Puede la función (o distribución) delta de Dirac ser una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria. A mi entender, parece satisfacer las condiciones. Para mi interpretación obtener un número real positivo como resultado es 1 y que para un número real negativo es cero. Me pregunto cuál podría ser el valor esperado. Mi pregunta es si es una función de densidad de probabilidad válida de una variable aleatoria.

Answer 1

Como se explica en la respuesta de Gortaur, una función delta no puede ser la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria real.

No obstante, las sumas de las funciones delta pueden considerarse como el "eslabón perdido" entre las variables aleatorias / distribuciones de probabilidad discretas y continuas, de la siguiente manera:

Si $X$ es una variable aleatoria discreta que toma valores $x_k\in{\mathbb R}$ $\ (k\in I$ , $\ I$ un conjunto de índices contables) con probabilidades $p_k$ entonces se puede sustituir el espacio de probabilidad $I$ con el espacio de probabilidad ${\mathbb R}$ siempre con la medida de probabilidad $$\mu\ :=\ \sum_{k\in I} p_k \ \delta_{x_k}\ ,$$ donde $\delta_x$ denota una masa puntual unitaria en el punto $x$ . De esta manera $X$ ahora se ha convertido en una verdadera variable aleatoria. Si $f:\ {\mathbb R}\to {\mathbb R}$ es una función razonable, entonces la expectativa $E\bigl(f(X)\bigr)$ puede escribirse como una integral: $$E\bigl(f(X)\bigr)\ =\ \int_{-\infty}^\infty f(x)\ d\mu(x)\ .$$

Answer 2

Artículo de Wikipedia sobre el PDF implica que $\delta(x)$ puede utilizarse como un PDF generalizado. La FCD correspondiente sería la función de Heaviside (paso unitario) ya mencionada. El valor esperado es 0; yo no llamaría realmente a esa variable "aleatoria".

Answer 3

El producto de la adición de un ion cloruro (C) se oxida fácilmente por el oxígeno atmosférico (mecanismo de radicales). La 2-cloro-1,4-benzoquinona obtenida es susceptible de adición conjugada de otro ion cloruro, esto ocurre quimioselectivamente en el doble enlace más deficiente en electrones que ya tiene un cloro unido a un átomo de carbono.

Answer 4

¿Puede la función (o distribución) delta de Dirac ser una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria? A mi entender, parece satisfacer las condiciones.

Eso depende de su definición. Si insistes en utilizar la medida de Lesbegue como medida de referencia, entonces la función delta no es una densidad de Radon-Nikodym con respecto a esta medida de referencia. Pero si eliges una medida de referencia diferente, como la medida de recuento, que asigna a cada conjunto el número de sus elementos, entonces la función delta es una densidad (es la función característica del conjunto {0}).

Para mi interpretación obtener un número real positivo como resultado es 1 y que para un número real negativo es cero.

No, la probabilidad de obtener el número cero es 1, la probabilidad de obtener cualquier otra cosa es cero.

Me pregunto cuál podría ser el valor esperado.

Como esta variable aleatoria es 0 con probabilidad 1, el valor esperado es 0.

Answer 5

Estaba pensando en la transformación lineal de una variable aleatoria gaussiana de media cero X. Definiendo la variable aleatoria Y=aX, se puede demostrar fácilmente que la función de densidad de probabilidad de Y es: $$ p_Y(y)=\frac{1}{|a|}.p_X(y/a)$$ Se puede demostrar que a medida que "a" tiende a cero, el $$ p_Y(y)\to\delta (y)$$ Por lo tanto, en mi opinión, la función delta de Dirac puede utilizarse para describir la PDF de una variable aleatoria de este tipo.