Canicas en una bolsa (combinatoria)

Question

Hay 10 numerados de 1 a 10 canicas. Las canicas son colocados en una bolsa opaca y revueltos. Uno al azar de mármol, su número está escrito en un pedazo de papel, de mármol, a continuación, se devuelve a la bolsa, a las canicas se barajan de nuevo. El procedimiento es repetido hasta 25 registros se acumulan en el papel.

Pregunta nº 1: ¿cuál es la probabilidad de que el papel ahora contiene todos los números de 1 a 10, al menos una vez?

Q №2: ¿cuál es el promedio de la cantidad de números que se escriben de tal manera, hasta que todos los números del 1 al 10, se registran al menos una vez?

P. S. he encontrado números correctos mediante el método de Monte Carlo, pero interesado en puramente matemático de la solución.

Actualización Desde que pedimos esto, he cuestionado amigos y colegas, trató de recibir la solución correcta para el #1 en diferentes sitios web, pero todos no para mí. El Emperador de los helados de la respuesta, simplemente no parece ser del todo correcto, ya que el resultado es bastante lejos de mi los resultados de la simulación (que se llevó a cabo nuevamente en reconectados algoritmo, sólo para ver el mismo resultado).

Answer 1

Podemos configurar nuestro espacio de probabilidad para el conjunto de las funciones de$[1,2,3\dots 25]$$[1,2,3\dots 10]$. Queremos hallar la probabilidad de que obtenga un surjective función. El uso de la twelvefold manera hay $10! S(25,10)$ de estos. Por lo tanto la probabilidad es $\frac{10!S(25,10)}{10^{25}}\approx 0.437$

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Para la segunda pregunta este es el cupón colector problema, respondió brillantemente por Henning Makholm aquí.

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Inicialmente he entendido la segunda pregunta y calcula el número medio de diferentes cupones que usted va a consumir:

$$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{10}i(\binom{10}{i}i!S(25,i))}{10^{25}}\approx$$

Esto es porque hay $\binom{10}{i}i!S(25,i)$ funciones que tienen un rango de tamaño de $i$. Esto es porque hay $\binom{10}{i}$ formas para seleccionar el rango. Y después de esto usamos el mismo argumento como el anterior, debido a que todas las funciones son surjective en su imagen.