¿Qué es realmente la "ortogonalidad"?

Question

Sé que podemos definir que dos vectores son ortogonales sólo si son elementos de un espacio vectorial con un producto interior.

Por lo tanto, si $\vec x$ y $\vec y$ son elementos de $\mathbb{R}^n$ (como espacio vectorial real), podemos decir que son ortogonales si $\langle \vec x,\vec y\rangle=0$ , donde $\langle \vec x,\vec y\rangle $ es un producto interno.

Normalmente, el producto interior se define con respecto a la base estándar $E=\{\hat e_1,\hat e_2 \}$ (para $n=2$ para simplificar las notaciones), la definición estándar es: $$ \langle \vec x,\vec y\rangle_E=x_1y_1+x_2y_2 $$ Donde $$ \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} =[\vec x]_E \qquad \begin{bmatrix} y_1\\y_2 \end{bmatrix} =[\vec y]_E $$ son las componentes de los dos vectores en la base estándar y, por definición del producto interior, $\hat e_1$ y $\hat e_2$ son orho-normales.

Ahora, si $\vec v_1$ y $\vec v_2$ son linealmente independientes el conjunto $V=\{\vec v_1,\vec v_2\}$ es una base y podemos expresar cualquier vector en esta base con un par de componentes: $$ \begin{bmatrix} x'_1\\x'_2 \end{bmatrix} =[\vec x]_V \qquad \begin{bmatrix} y'_1\\y'_2 \end{bmatrix} =[\vec y]_V $$ a partir del cual podemos definir un producto interno: $$ \langle \vec x,\vec y\rangle_V=x'_1y'_1+x'_2y'_2 $$

Obviamente lo hemos hecho: $$ [\vec v_1]_V= \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \qquad [\vec v_2]_V= \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix} $$ y $\{\vec v_1,\vec v_2\}$ son ortogonales (y normales) para el producto interior $\langle \cdot,\cdot\rangle_V$ .

Esto significa que dos vectores linealmente independientes son ortogonales con respecto a un producto interno adecuado definido por una base adecuada. Así que la ortogonalidad parece un concepto "dependiente de las coordenadas".

La pregunta es: ¿es correcto mi razonamiento? Y, en caso afirmativo, ¿qué hace que la base estándar habitual sea tan especial como para elegir dicha base para la definición habitual de ortogonalidad?

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Añado algo para ilustrar mejor mi pregunta.

Si mi razonamiento es correcto, para cualquier base de un espacio vectorial existe un producto interno tal que los vectores de la base son ortogonales. Si pensamos en los vectores como segmentos orientados (en sentido geométrico puro) esto parece contradecir nuestra intuición de lo que significa ''ortogonal'' y también una definición geométrica de ortogonalidad. Entonces, ¿por qué lo que llamamos ''base estándar'' parece estar de acuerdo con la intuición y otras bases no lo están?

Answer 1

Para ampliar un poco el comentario de Daniel Fischer, podría ser fructífero abordar esta cuestión desde una dirección diferente. Hay, como has visto, muchos productos internos posibles. Cada uno de ellos determina una noción diferente de longitud y ángulo -y por tanto de ortogonalidad- mediante las fórmulas que conoces. No hay nada inherentemente dependiente de las coordenadas. De hecho, a menudo es posible definir los productos internos sin coordenadas. Por ejemplo, para espacios vectoriales de funciones sobre los reales, $\int_0^1 f(t)g(t)\,dt$ y $\int_{-1}^1 f(t)g(t)\,dt$ son productos internos de uso común. El hecho de que existan muchos productos internos diferentes es bastante útil. Existe, por ejemplo, un método para resolver una gran clase de problemas interesantes que implica la proyección ortogonal relativa a uno de estos productos internos "no estándar".

Ahora bien, cuando se intenta expresar un producto interior en términos de coordenadas vectoriales, la fórmula resultante va a depender claramente de la elección de la base. Resulta que para cualquier producto interior se puede encontrar una base para la que la fórmula se parece al conocido producto punto.

También podría preguntarse qué hace que la base estándar sea tan "estándar". Si tu espacio vectorial consiste en tuplas ordenadas de reales, entonces hay una elección natural de base, pero ¿qué pasa con otros espacios vectoriales? Incluso en el plano euclidiano, no hay una elección particular de base que destaque a priori. De hecho, a menudo se elige un origen y unos ejes de coordenadas para que un problema adopte una forma particularmente sencilla. Una vez hecha esa elección, se puede hablar de una base "estándar" para ese espacio.

Answer 2

Tu razonamiento es bueno y, como dijo Daniel Fisher, la afirmación "ser ortogonal a" sólo depende de tu producto interno.

Lo que hace la base estándar $$\mathcal{C}=(e_1,\dots,e_n) \hspace{0.5cm}\text{ with }\hspace{0.5cm} e_i=(0,\dots,0,\underset{i \text{ rank}}{\underbrace{1}},0,\dots,0)$$ especial cuando se trabaja en $\mathbb{R}^n$ con un producto interno $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es que tiene los dos puntos siguientes:

• $\forall x\in\mathbb{R}^n,$ $[x]_\mathcal{C}={}^tx,$

• Si $\mathcal{F}=(f_1,\dots,f_n)$ es una base ortonormal de $(\mathbb{R}^n,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ (que siempre existe según el proceso de Gram-Schmidt), entonces se tiene : $$\forall u,v\in\mathbb{R}^n, \langle u,v\rangle={}^t[u]_\mathcal{F}[v]_\mathcal{F}=\langle {}^t[u]_\mathcal{F},{}^t[v]_\mathcal{F}\rangle_\mathcal{C}=\langle U, V\rangle_\mathcal{C}.$$

En otras palabras: puedes calcular fácilmente las coordenadas de tus vectores en esta base y, después de haber elegido una "buena" base, tu producto interior siempre puede escribirse como el producto interior dado por tu método en la base estándar.

Editar : Para la parte geométrica, intentaré detallar mi comentario : cuando se representa un vector en el plano, lo que realmente se hace es elegir una base y dibujar el (vector de) coordenadas en el plano (se entiende bien este proceso cuando se consideran espacios vectoriales que no son $\mathbb{R}^n$ la diferencia es que no se pueden ver inmediatamente los vectores como $n-$ tuplas y que hay que considerar una base para ver las cosas vectorialmente).

Entonces, su pregunta es :

¿Qué base debo considerar para ver la ortogonalidad como estoy acostumbrado a verla, es decir, que mis vectores hagan un "ángulo recto"?

(La buena definición de ángulo viene de la geometría euclidiana, aquí supongo que entendemos lo que queremos ver en el dibujo). Y la respuesta es el segundo punto que ya apunté : estamos en el caso habitual de $\mathbb{R}^n$ y su producto interior habitual cuando consideramos una base ortonormal para su producto interno .

Por ejemplo, si considera $(v_1,v_2)=\big((1,0),(1,1)\big)$ y el producto interior $\langle x,y\rangle_V={}^t[x]_V[y]_V,$ entonces como $v_1$ y $v_2$ no son ortogonales en $\mathbb{R}^2$ para el producto interior habitual, entonces no aparecerán como vectores ortogonales representados en la base estándar (siendo el "ángulo" entre ambos $45^°$ ), pero si los representa en la base $(v_1,v_2),$ que es ortonormal para su producto interno, aparecerán como vectores ortogonales.

Answer 3

Los vectores base unitarios $e_1$ , $e_2$ : forman una base ortonormal.

Echemos un vistazo a lo que esto requiere:

• todos los elementos en $M:=\{e_1,e_2,...,e_n \}$ son linealmente independientes
• los vectores $e_1$ , $e_2$ ,..., $e_n$ son ortogonales entre sí, por lo que su producto punto $\langle e_i,e_k \rangle=0 $ , $\forall i,k \leq n$ y $i\neq k$
• están normalizados, por lo que $||e_i||=1$

Tienes razón, hay más vectores que cumplen este criterio. De hecho, hay una cantidad incontablemente infinita de ellos. Pero, ¿qué hace que la base estándar sea tan atractiva?

1. Son fáciles de calcular

Para cualquier vector $e_i$ se ponen a cero todas las posiciones menos una. La única entrada no nula tiene el único requisito, que su posición sea única en comparación con los otros vectores unitarios.

Si se intenta crear una base partiendo de un vector no unitario $v$ Tendrías que asegurarte de que son linealmente independientes, ortogonales por pares y normalizados.

2. Tienen buenas propiedades numéricas No se encontrará con errores de redondeo al intentar calcular $||e_i||$ Esto es una gran ventaja.

Además preguntas, si el producto punto es un concepto dependiente de las coordenadas . Recuerda que un vector $v=\left( \begin{array}{c} a\\ b\\ \end{array} \right)$ tiene una magnitud y una dirección. Así que las entradas $a,b$ tienen una relación directa con la dirección del vector $v$ se enfrentarán. Así que, en cierto sentido, sí, el producto punto depende de las coordenadas como lo hace el aspecto general del vector.

Pero ¿qué ocurre si convierte su vector $v$ a coordenadas polares, de forma que $v=(angle, length)$ . ¿Qué quiere decir ahora con dependiente de coordenadas?

Así que en lugar de decir que el producto punto depende de las coordenadas, digamos que depende de la magnitud y del ángulo. Incluso es así como se define el producto punto, porque

$\langle v,u \rangle=||u||||v||cos(alpha)$

Answer 4

Permíteme que intente añadir mi intuición personal a esta conversación y ver si eso te ayuda un poco. Si tomas los vectores de la base estándar, y los dibujas en el sistema de coordenadas cartesianas, entonces notarás que satisfacen tu intuición de lo que pensamos de los vectores perpendiculares. Lo que observamos además es que dos vectores cualesquiera que sean ortogonales según el producto interior en esta base satisfacen de hecho la misma intuición de ser perpendiculares según nuestra intuición. Si elegimos una base diferente, digamos ${v_1, v_2}$ entonces, como has observado, estos dos vectores serán ortogonales según el producto interior definido en su base. En la base estándar, el ángulo entre ellos es $\theta = arccos(v_1 . v_2) / |v_1||v_2|$ . Cualquier conjunto de vectores que sea ortogonal en esta nueva base, tendrá de hecho el mismo ángulo $\theta$ entre ellos en la base estándar.

Resumiendo, si escogemos cualquier base arbitraria, el ángulo entre los vectores de esa base, cuando se dibujan en la base estándar, es el mismo que el ángulo entre dos vectores cualesquiera, también cuando se dibujan en la base estándar, que son ortogonales en esta nueva base. Por lo tanto, tiene sentido elegir la base estándar como estándar porque los vectores de la base son, de hecho, de 90 grados (encajando bien con nuestra intuición). Y, en consecuencia, todos los vectores que son ortogonales en esa base también tendrán un ángulo de 90 grados entre ellos.