Supongamos que tenemos un campo vectorial $\mathbf{F} \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ que evoluciona con el tiempo y se describe la manera, digamos, líquido, las partículas se desplazan en un tanque. También, nos da una paramétricas de la superficie de $\mathscr{S}$ que es parametrizada por
$$\mathbf{r}(u, v, t) = x(u, v, t)\mathbf{i} + y(u, v, t)\mathbf{j} + z(u, v, t)\mathbf{k}.$$
(Tenga en cuenta que las superficies evoluciona con el tiempo; se "mueve".) Por otra parte, vamos a la (espacial) de dominio de $\mathbf{r}$$A$.
Ahora la pregunta a la que quiero ser capaz de responder es: ¿cómo calcular el flujo a través de un elemento area de tomar el movimiento de la superficie y el vector de campo en cuenta?
Ver lo que he intentado:
(1) en Primer lugar tengo que calcular la unidad de la normal a la superficie en un instante determinado:
$$\mathbf{\hat{N}}(u, v, t) = \frac{\frac{\partial}{\partial u}\mathbf{r}(u, v, t) \times \frac{\partial}{\partial v}\mathbf{r}(u, v, t)}{\Big| \frac{\partial}{\partial u}\mathbf{r}(u, v, t) \times \frac{\partial}{\partial v}\mathbf{r}(u, v, t)\Big|}.$$
(2) Teniendo en cuenta el movimiento, tenemos que el elemento de superficie en el momento $t$ pasa en el espacio en la tasa de $$\Big\langle \mathbf{\hat{N}}(u, v, t), \frac{\partial}{\partial t}\mathbf{r}(u, v, t) \Big\rangle.$$
(3) Ahora todo lo que hacemos en cada área del elemento es tomar la diferencia de los dos vectores: un vector desde el campo de vectores y el otro es de el movimiento de la superficie. Por ejemplo, si en un cierto instante un área de elemento se mueve con la misma velocidad y dirección que el vector implicado por el vector de campo, el flujo debe ser igual a cero. Poniendo todo junto, tengo lo siguiente:
$$ \begin{align} \Phi(t) &= \iint_{\mathscr{S}} \Bigg\langle \mathbf{F}, \mathbf{\hat{N}}\Bigg\rangle - \Bigg\langle \frac{\partial}{\partial t}\mathbf{r}, \mathbf{\hat{N}}\Bigg\rangle\, \mathrm{d}S \\ &= \iint_{\mathscr{S}} \Bigg\langle \mathbf{F} - \frac{\partial}{\partial t}\mathbf{r}, \mathbf{\hat{N}} \Bigg\rangle\, \mathrm{d}S \\ &= \iint_{A} \Bigg\langle \mathbf{F} - \frac{\partial}{\partial t}\mathbf{r}, \mathbf{\hat{N}} \Bigg\rangle \Bigg| \frac{\partial}{\partial u}\mathbf{r} \times \frac{\partial}{\partial v}\mathbf{r} \Bigg| \, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v \\ &= \iint_{A} \Bigg\langle \mathbf{F}(\mathbf{r}(u, v, t), t) - \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{r}(u, v, t), \frac{\partial}{\partial u} \mathbf{r}(u, v, t) \times \frac{\partial}{\partial v}\mathbf{r}(u, v, t) \Bigg\rangle \, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v. \end{align} $$
Es el cálculo correcto? Si sí, que el volumen a través de la superficie de la $\mathscr{S}$ dentro de un rango de tiempo $[a, b]$ es simplemente $\int_a^b \Phi(t) \, \mathrm{d}t$?
