Resolver $\sin x+\cos x+\tan x+\csc x+\sec x+\cot x=-2$ en el intervalo $0<x<2\pi$

Question

Resolver $$\sin x+\cos x+\tan x+\csc x+\sec x+\cot x=-2$$ from $0 < x < 2\pi$.

¿Podría encontrar la solución más elegante? ¿Factorizar?

Answer 1

SUGERENCIA:

Escribe $c=\cos x,s=\sin x$

Multiplicar todo por el $cs$ % $ $$c^2s+cs^2+c^2+s^2+c+s=-2cs\iff cs(c+s)+(c+s)^2+c+s=0$

Ahora, $$cs(c+s)+(c+s)^2+c+s=(c+s)(cs+c+s+1)=(c+s)(c+1)(s+1)$ $

Answer 2

Increíble solución a este problema sabroso:

Sustituir $\sin x + \cos x=t$

Además, $t^2=1+\sin 2x$

Dado se reduce a:

$$\sin x+\cos x + \frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}$$ $$t+\frac{2}{t^2-1}+\frac{2t}{t^2-1}$$

$$t^3-t+2+2t=-2t^2+2$$

$$t^3+2t^2+t=0$$

$$t(t+1)^2=0$$

Esto es fácil peasy.

Ahora usted puede fácilmente resolver la ecuación.

A continuación, se trata de resolver una ecuación de trigonometría agradable. Usted puede usar: $\frac{t}{\sqrt 2}=\sin(\frac{\pi}{4}+x)$

Answer 3

Esto podría ser considerado un comentario extendido de laboratorio bhattacharjee la respuesta anterior.

Las raíces de la forma factorizada son

$(\cos x + \sin x)(\cos x + 1)(\sin x +1) = 0$

lo que da

$\cos x = -\sin x$. El 2 soluciones se $\dfrac{3\pi}{4}$$\dfrac{7\pi}{4}$;

$\cos x = -1$. La solución es $\pi$;

$\sin x = -1$. La solución es $\dfrac{3\pi}{2}$.

Así que en el intervalo de $0 < x < 2\pi$, usted tiene las soluciones $\dfrac{3\pi}{4}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{4}$.

EDIT: Gracias a laboratorio bhattacharjee para darse cuenta de que los valores será indefinido si evaluados en la ecuación original. La única solución que funcione se $\dfrac{3\pi}{4}$$\dfrac{7\pi}{4}$.

Answer 4

El uso de la propuesta de sustitución de $c=\cos(x)$ $s=\sin(x)$ obtenemos la ecuación

$$s+c+s/c+1/s+1/c+c/s+2=0$$

multiplicando por $c$ $s$

$$s^2c+c^2s+s^2+c+s+c^2+2sc=0$$

determinar la lex fin de grobener base de esta ecuación y la condición de $s^2+c^2-1=0$ que es

$$c^2+s^2-1=0$$ $$c+s+cs-2s^2+2s^4+1=0$$ $$2s^5+2s^4-s^3-s^2=0$$

la última ecuación sólo incluye s, las soluciones se $s_1=-\frac{\sqrt2}{2},s_2=+\frac{\sqrt2}{2}, s_3=0, s_4=0$ (el doble) y $s_5=-1$

conectar $s_1$ en la primera ecuación de la grobner base da $c^2-1/2=0$ que resuelve a $c=+-1/\sqrt2$, conectando en la segunda ecuación nos da $0$ para el valor positivo sino $1-\sqrt2\neq0$ para el valor negativo, por lo que sólo el valor positivo que cuenta aquí. Por lo $s=-\sqrt2/2=-1/\sqrt2$ $c = +1/\sqrt2$ es una solución. A continuación, utilice $x=\arcsin(s)=\arccos(c)$...