Demostrar que si $n$ es compuesto entonces existen números enteros $a$y $b$ s.t. $n \mid ab$ $n \nmid a$ o $n \nmid b$

Question

Traté de demostrar la afirmación anterior, pero no estoy seguro si es del todo correcto - especialmente hacia el final.

Prueba : Vamos a $n$ compuesta, entonces, por definición, tenemos $n=ab$ para algunos no-cero enteros $a$$b$$a,b \neq \pm 1,\pm n$.

Claramente, $n \mid ab$. Vamos, si es posible, $n \mid a$. A continuación, $\exists$ un no-cero $k \in \mathbb{Z}$ s.t. $a=kn$.

A continuación, $n=ab=knb \implies 1=kb$, lo cual es una contradicción, ya que el producto de dos no-cero enteros $k, b$ s.t. $b \neq \pm 1$ no puede ser igual a $1$.

Por lo tanto, $n \nmid a$. Del mismo modo, $n \nmid b$. De ahí resultó.

He asumido $a,b \neq 0$ porque $n=ab$ es compuesto. Por favor, hágamelo saber si es fino. Gracias.

Answer 1

La prueba funciona bien.

En el caso donde participantes todos los números son positivos, hay una solución más simple (esto puede también usarse si hay números negativos, pero si es más sencillo en ese caso no es tan fácilmente determinado).

Que $a, b\in \Bbb N$, $a, b \neq 1, n$ ser tal que el $n = ab$ (que implica $n \mid ab$). $a<n$ Y $b<n$, así que posiblemente no tenemos $n \mid a$ o $n \mid b$.