Sólo algunos extendida sugerencias:
Los números son necesariamente de la forma $N=\frac{10^n-1}9+a10^k$ $0\le k<n$ $a+1$ prime (es decir,$a\in\{1,2,4,6\}$) para cumplir el criterio. Por supuesto, $n$ debe ser el primer para encontrar la longitud de criterio. Luego, la suma de dígitos es $n+a$, lo que descarta $a=1$, excepto para los casos pequeños.
Si $a=2$ debemos tener $n\equiv -1\pmod 6$. A continuación,$N\equiv n-k \pmod 3$, por lo que necesitamos $k\not\equiv -1\pmod 3 $. También , $\frac{10^n-1}9\equiv 2\pmod 7$, ${}\equiv 9\pmod {13}$, ${}\equiv 11\pmod{37}$, lo que descarta otra fracción $\frac 17$, $\frac 1{13}$, $\frac1{37}$, respectivamente, de la posible $k$ valores.
Del mismo modo, si $a=4$ debemos tener $n\equiv 1\pmod 6$. A continuación,$N\equiv n+k\pmod 3$, por lo que necesitamos $k\not\equiv -1\pmod 3$ nuevo. La argumentación con los números primos $7,13,37$ dividiendo $111111$ se aplica así en una manera similar.
De manera más general, para cualquier (pequeño) prime $p>5$, podemos obtener las restricciones para $n,k\pmod{p-1}$. Esto hace que sea fácil construir $N$ que no tiene ningún pequeños primos divisores (y, por supuesto, cumple con la suma, el producto y la longitud de criterio). Todavía hay un largo camino por recorrer para hacer de $N$ prime, por supuesto.
De forma heurística, la posibilidad de $N$ prime es $\sim \frac1n$; y puesto que se $\sim n$ opciones para $k$, sería de esperar un determinado más o menos constante de la cantidad de la suma de los números primos por $n$ ...
