Anillos comutativos cuyos ideales no triviales son máximos

Question

Es bien sabido que un local es un anillo que contiene un único ideal maximal. Me preguntaba si es una caracterización o cualquier información de anillos comutativos tal que todos sus ideales no triviales están máximas.

Gracias.

Answer 1

Una manera de caracterizar un anillo de $R$ cuyos ideales no triviales son máximas es de esta manera:

$R$ es un anillo finito composición de longitud y la longitud es más que 2.

Otra manera obvia es

$R$ es un anillo en el que la máxima y la mínima ideales coinciden.

En particular, $R$ es una "muy pequeña" Artinian anillo.

En el caso de la composición de longitud 1, que tiene un campo. Un ejemplo sencillo de un nonfield anillo de la composición de longitud 2 es $F[x]/(x^2)$ para un campo $F$. Otro ejemplo es $F\times K$ para los dos campos de $F,K$.

Una forma interesante de analizar el nonfield caso fue llevado por el Prisma en los comentarios: si $Nil(R)\neq 0$, entonces a partir de la $R$ es Artinian, $Nil(R)=J(R)$ es el único mínimo y único ideal maximal de a $R$.

Si $Nil(R)=\{0\}$, entonces tenemos una conmutativa semisimple Artinian anillo, es decir, un producto finito de campos. Es fácil ver que $R$ tendría que ser un producto de exactamente dos campos,$F$$K$, por lo que el $F\times K$ tendría exactamente estos ideales no triviales: $F\times\{0\}$$\{0\}\times K$.

Así que una buena tercera cosa a añadir a nuestra lista sería:

$R$ es un campo, un producto de dos campos, o bien es un uniserial anillo con exactamente un trivial ideal.

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Si eres curioso acerca de no conmutativa de los anillos (y hablamos de todos los nontrival derecho ideales máxima), a continuación,$M_2(F_2)$, $2\times 2$ matriz de anillo sobre el campo de $2$ elementos es un ejemplo sencillo de un (no conmutativa) anillo con la composición de longitud 2.

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Se trata de decir: "el opuesto de un anillo local." Creo que mucho más natural candidato para el "frente" de un anillo local es un anillo que tiene un único mínimo ideal. Entre conmutativa anillos, estos son exactamente los subdirectly irreductible de los anillos.

Hay una conexión interesante cuando se combinan las condiciones y el descendente de la cadena de condición se produce en: Para una conmutativa local artinian anillo $R$, $R$ tiene un único mínimo ideal iff sus ideales forman una cadena.

Answer 2

En cualquier anillo $R$ $R$ sí mismo es un nonmaximal ideal. Suponiendo que usted pretende excluir ese caso: si es máxima, cada ideal de $R$ $\{0\}$ en particular, es un ideal maximal, y así $R$ es un campo.